線性代數複習筆記¶
本筆記涵蓋線性代數核心概念，按邏輯順序編排，適合考前複習。
概念地圖¶
向量空間 V（域 F 上）
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├─► 基底、維度
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│ └─► dim(V) = n ⟺ 任意基底有 n 個元素
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└─► 線性變換 T: V → W
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├─► 矩陣表示 [T]_B
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│ ├─► 行列式 det(A)
│ │ └─► 可逆 ⟺ det ≠ 0
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│ └─► 逆矩陣 A⁻¹
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├─► 核 ker(T)、像 Im(T)
│ └─► 秩-零度定理：dim(ker) + dim(Im) = dim(V)
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└─► 特徵值、特徵向量
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├─► 對角化 A = PDP⁻¹
│ └─► 可對角化 ⟺ 幾何重數 = 代數重數
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└─► 內積空間
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├─► 正交、Gram-Schmidt
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└─► 投影、最小平方法
目錄¶
第一部分：空間與變換¶
| 章節 | 主題 | 考點 |
|---|---|---|
| Q1：向量空間 | 向量空間、子空間、基底、維度 | 子空間判定、維度計算、\(\mathbb{Z}_2^n\) |
| Q2：線性變換 | 線性變換、矩陣表示、相似矩陣 | 核與像、矩陣表示 |
第二部分：矩陣性質¶
| 章節 | 主題 | 考點 |
|---|---|---|
| Q3：行列式 | 行列式定義、計算、性質 | \(\det(AB)\)、\(\det(cA)\)、Cramer 法則 |
| Q4：可逆性 | 逆矩陣、滿秩、可逆條件 | 可逆等價條件、Cayley-Hamilton |
第三部分：特徵分析¶
| 章節 | 主題 | 考點 |
|---|---|---|
| Q5：特徵值 | 特徵值、特徵向量、特徵多項式 | 特徵值計算、\(A^k\) 計算 |
| Q6：核與像 | 核、像、秩-零度定理 | 維度計算、單射/滿射判定 |
| Q7：四個子空間 | Row/Col/Null/Left Null space | 正交分解、秩關係 |
第四部分：內積與優化¶
| 章節 | 主題 | 考點 |
|---|---|---|
| Q8：內積空間 | 內積、正交性、Gram-Schmidt | 正交基、正規化 |
| Q9：對角化 | 對角化、Jordan form、SVD | 可對角化判定、\(A^k\) |
| Q10：最小平方法 | 投影、正規方程、最小平方 | 投影矩陣、\(A^TA\hat{x} = A^Tb\) |
進階挑戰區¶
| 挑戰 | 內容 | 特色 |
|---|---|---|
| 挑戰 A：概念陷阱區 | T/F 題型 | 常見概念混淆 |
| 挑戰 B：跨概念綜合題 | 大題模擬 | 一題串 4-5 個考點 |
| 挑戰 C：計算速殺技 | 快速計算 | 提升計算效率 |
| 挑戰 D：證明題模板 | 證明技巧 | 標準證明流程 |
| 挑戰 E：抽象空間專區 | 函數/矩陣空間 | 進階難題 |
總結¶
學習路線建議¶
新手路線¶
Q1（向量空間）→ Q2（線性變換）→ Q3（行列式）→ Q4（逆矩陣）
↓
Q5（特徵值）→ Q6（核與像）→ Q7（四個子空間）
↓
Q8（內積）→ Q9（對角化）→ Q10（最小平方）
↓
挑戰 A → 挑戰 B → 挑戰 C → 挑戰 D → 挑戰 E
進階路線（已有基礎）¶
- 直接做 挑戰 A 的陷阱題，測試概念理解
- 挑戰 B 的綜合題，訓練概念連結
- 挑戰 C 的速殺技，提升計算效率
- 挑戰 D 的證明模板，應對證明題
- 挑戰 E 的抽象空間，挑戰最高難度
考前衝刺¶
- 概念總結 速查表背熟
- 挑戰 A 陷阱題過一遍
- 挑戰 C 計算技巧練手感
- 模擬計時做挑戰 B