挑戰 E：抽象空間專區¶

台大 112 年特色：$\mathbb{Z}_2^n$、Hermitian 矩陣空間、函數空間。這些是拉開差距的題目。

核心觀念¶

向量空間的本質：不在於「元素是什麼」，而在於「能做線性組合」。

\[V \text{ 是 } F\text{-向量空間} \Leftrightarrow \forall \mathbf{u}, \mathbf{v} \in V, \ \forall c, d \in F: \ c\mathbf{u} + d\mathbf{v} \in V\]

E1：ℤ₂ⁿ 有限域向量空間（112-Q1）¶

基本設定¶

$\mathbb{Z}_2 = \{0, 1\}$，加法 = XOR，乘法 = AND
$\mathbb{Z}_2^n$ = 所有 $n$ 位二進制串
元素個數：$2^n$
維度：$n$

關鍵性質¶

特性	$\mathbb{R}^n$	$\mathbb{Z}_2^n$
係數範圍	$\mathbb{R}$	$\{0, 1\}$
$\mathbf{v} + \mathbf{v}$	$2\mathbf{v}$	$\mathbf{0}$
反元素	$-\mathbf{v}$	$\mathbf{v}$ 本身

題目¶

E1.1 在 $\mathbb{Z}_2^4$ 中，$W = \{\mathbf{x} : x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 0\}$（偶校驗碼）。求 $\dim(W)$ 和 $|W|$。

解答

方法：$W = \ker(T)$，$T(\mathbf{x}) = x_1 + x_2 + x_3 + x_4$

$T: \mathbb{Z}_2^4 \to \mathbb{Z}_2$ 是滿射（$T(\mathbf{e}_1) = 1$）

秩-零度：$\dim(W) = 4 - 1 = 3$

$|W| = 2^3 = 8$

基底：$\{(1,1,0,0), (1,0,1,0), (1,0,0,1)\}$

E1.2（編碼理論）Hamming(7,4) 碼 $C = \ker(H)$，$H$ 是 $3 \times 7$ 校驗矩陣，rank$(H) = 3$。求 $\dim(C)$ 和最小 Hamming 距離。

解答

$\dim(C) = 7 - 3 = 4$

$|C| = 2^4 = 16$

最小 Hamming 距離（非零碼字最少 1 的個數）：Hamming(7,4) 碼 $d_{min} = 3$

可糾正 $\lfloor (3-1)/2 \rfloor = 1$ 個錯誤。

E2：Hermitian 矩陣空間（112-Q1）¶

定義¶

\[H_n = \{A \in \mathbb{C}^{n \times n} : A^* = A\}\]

其中 $A^* = \bar{A}^T$（共軛轉置）。

關鍵問題¶

$H_n$ 是 $\mathbb{C}$-向量空間嗎？

否！驗證純量乘法：設 $A \in H_n$，$c = i$。

\[(iA)^* = \bar{i}A^* = -iA \neq iA\]

所以 $iA \notin H_n$。

$H_n$ 是 $\mathbb{R}$-向量空間嗎？

是！對 $c \in \mathbb{R}$：$(cA)^* = \bar{c}A^* = cA$ ✓

維度計算¶

$H_n$ 作為 $\mathbb{R}$-向量空間：

對角元：$a_{ii} \in \mathbb{R}$，共 $n$ 個
上三角元（$i < j$）：$a_{ij} = x + iy$ 自由，下三角 $a_{ji} = x - iy$ 決定

自由度：$n + 2 \cdot \frac{n(n-1)}{2} = n^2$

答案：$\dim_\mathbb{R}(H_n) = n^2$

題目¶

E2.1 給出 $H_2$（$2 \times 2$ Hermitian 矩陣）作為 $\mathbb{R}$-向量空間的基底。

解答

一般 Hermitian 矩陣：$\begin{bmatrix} a & x + iy \\ x - iy & b \end{bmatrix}$，$a, b, x, y \in \mathbb{R}$

基底（4 個）： $$E_1 = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}, \quad E_2 = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$$ $$E_3 = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}, \quad E_4 = \begin{bmatrix} 0 & i \\ -i & 0 \end{bmatrix}$$

驗證 $E_4$ 是 Hermitian：$(E_4)^* = \begin{bmatrix} 0 & -(-i) \\ \bar{i} & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & i \\ -i & 0 \end{bmatrix} = E_4$ ✓

E3：對稱/反對稱矩陣空間¶

直和分解¶

\[M_{n \times n} = S_n \oplus K_n\]

$S_n = \{A : A^T = A\}$（對稱）
$K_n = \{A : A^T = -A\}$（反對稱）

分解公式：$A = \frac{A + A^T}{2} + \frac{A - A^T}{2}$

維度¶

空間	維度
$S_n$	$\frac{n(n+1)}{2}$
$K_n$	$\frac{n(n-1)}{2}$
$M_{n \times n}$	$n^2$

驗證：$\frac{n(n+1)}{2} + \frac{n(n-1)}{2} = n^2$ ✓

題目¶

E3.1 設 $V = \{A \in M_3 : \text{tr}(A) = 0\}$。證明 $V$ 是子空間並求 $\dim(V)$。

解答

子空間驗證： - $O \in V$：$\text{tr}(O) = 0$ ✓ - 加法封閉：$\text{tr}(A + B) = \text{tr}(A) + \text{tr}(B) = 0$ ✓ - 純量乘法：$\text{tr}(cA) = c \cdot \text{tr}(A) = 0$ ✓

維度：$\text{tr}(A) = a_{11} + a_{22} + a_{33} = 0$ 是一個線性約束

$\dim(V) = 9 - 1 = 8$

E3.2 證明：反對稱矩陣的對角元全為 0。

解答

$A^T = -A \Rightarrow a_{ii} = -a_{ii} \Rightarrow 2a_{ii} = 0 \Rightarrow a_{ii} = 0$

E4：函數空間（113-Q10）¶

多項式空間 𝒫ₙ¶

元素：次數 $\leq n$ 的多項式
標準基底：$\{1, x, x^2, \ldots, x^n\}$
維度：$n + 1$

內積定義¶

\[\langle p, q \rangle = \int_{-1}^1 p(x)q(x)dx\]

奇偶性速算： - $\langle x^{\text{odd}}, x^{\text{even}} \rangle = 0$（奇函數積分為 0） - $\langle 1, 1 \rangle = 2$ - $\langle x, x \rangle = \frac{2}{3}$ - $\langle x^2, x^2 \rangle = \frac{2}{5}$

Gram-Schmidt 結果¶

對 $\{1, x, x^2\}$ 正交化（在 $[-1,1]$ 內積下）：

\[u_1 = 1, \quad u_2 = x, \quad u_3 = x^2 - \frac{1}{3}\]

這是 Legendre 多項式 $P_0, P_1, P_2$（差常數倍）。

題目¶

E4.1 在 $\langle p, q \rangle = \int_0^1 p(x)q(x)dx$ 下，對 $\{1, x\}$ 做 Gram-Schmidt。

解答

$\langle 1, 1 \rangle = 1$

$\langle x, 1 \rangle = \frac{1}{2}$

$u_1 = 1$

$u_2 = x - \frac{1/2}{1} \cdot 1 = x - \frac{1}{2}$

E4.2 求 $p(x) = x^2$ 在 $W = \text{span}\{1, x\}$ 上的投影（內積 $\int_{-1}^1$）。

解答

$\{1, x\}$ 已正交（$\langle 1, x \rangle = 0$）。

\[\text{proj}_W(x^2) = \frac{\langle x^2, 1 \rangle}{\langle 1, 1 \rangle} \cdot 1 + \frac{\langle x^2, x \rangle}{\langle x, x \rangle} \cdot x = \frac{2/3}{2} + 0 = \frac{1}{3}\]

E5：線性映射空間 ℒ(V, W)¶

定義¶

\[\mathcal{L}(V, W) = \{T: V \to W : T \text{ 是線性映射}\}\]

維度¶

\[\dim(\mathcal{L}(V, W)) = \dim(V) \cdot \dim(W)\]

原因：$T$ 由其在基底上的值決定，對應 $m \times n$ 矩陣

題目¶

E5.1 設 $V = \mathcal{P}_2$，$T: V \to V$ 定義為 $T(p) = p'$（微分）。求 $\ker(T)$ 和 $\text{Im}(T)$。

解答

$\ker(T) = \{p : p' = 0\} = \{$ 常數多項式 $\} = \text{span}\{1\}$

$\dim(\ker T) = 1$

$\text{Im}(T) = \{p' : p \in \mathcal{P}_2\} = \{$ 次數 $\leq 1$ 的多項式 $\} = \mathcal{P}_1$

$\dim(\text{Im} T) = 2$

驗證：$1 + 2 = 3 = \dim(\mathcal{P}_2)$ ✓

維度速查表¶

空間	元素	域	維度
$\mathbb{R}^n$	$n$ 維向量	$\mathbb{R}$	$n$
$\mathbb{Z}_2^n$	二進制串	$\mathbb{Z}_2$	$n$
$\mathcal{P}_n$	次數 $\leq n$ 多項式	$\mathbb{R}$	$n+1$
$M_{m \times n}$	矩陣	$\mathbb{R}$	$mn$
對稱 $S_n$	$A^T = A$	$\mathbb{R}$	$\frac{n(n+1)}{2}$
反對稱 $K_n$	$A^T = -A$	$\mathbb{R}$	$\frac{n(n-1)}{2}$
Hermitian $H_n$	$A^* = A$	$\mathbb{R}$	$n^2$
$\{A : \text{tr}(A) = 0\}$	跡零矩陣	$\mathbb{R}$	$n^2 - 1$
$\mathcal{L}(V, W)$	線性映射	基域	$\dim V \cdot \dim W$
$\ker(T)$（$T: \mathbb{Z}_2^n \to \mathbb{Z}_2$）	校驗碼	$\mathbb{Z}_2$	$n - 1$

特性	\(\mathbb{R}^n\)	\(\mathbb{Z}_2^n\)
係數範圍	\(\mathbb{R}\)	\(\{0, 1\}\)
\(\mathbf{v} + \mathbf{v}\)	\(2\mathbf{v}\)	\(\mathbf{0}\)
反元素	\(-\mathbf{v}\)	\(\mathbf{v}\) 本身

空間	維度
\(S_n\)	\(\frac{n(n+1)}{2}\)
\(K_n\)	\(\frac{n(n-1)}{2}\)
\(M_{n \times n}\)	\(n^2\)

空間	元素	域	維度
\(\mathbb{R}^n\)	\(n\) 維向量	\(\mathbb{R}\)	\(n\)
\(\mathbb{Z}_2^n\)	二進制串	\(\mathbb{Z}_2\)	\(n\)
\(\mathcal{P}_n\)	次數 \(\leq n\) 多項式	\(\mathbb{R}\)	\(n+1\)
\(M_{m \times n}\)	矩陣	\(\mathbb{R}\)	\(mn\)
對稱 \(S_n\)	\(A^T = A\)	\(\mathbb{R}\)	\(\frac{n(n+1)}{2}\)
反對稱 \(K_n\)	\(A^T = -A\)	\(\mathbb{R}\)	\(\frac{n(n-1)}{2}\)
Hermitian \(H_n\)	\(A^* = A\)	\(\mathbb{R}\)	\(n^2\)
\(\{A : \text{tr}(A) = 0\}\)	跡零矩陣	\(\mathbb{R}\)	\(n^2 - 1\)
\(\mathcal{L}(V, W)\)	線性映射	基域	\(\dim V \cdot \dim W\)
\(\ker(T)\)（\(T: \mathbb{Z}_2^n \to \mathbb{Z}_2\)）	校驗碼	\(\mathbb{Z}_2\)	\(n - 1\)