挑戰 D：證明題模板¶

台大證明題有固定套路。掌握這 10 個模板，遇到類似題目就能快速切入。

核心策略¶

證明題分類：

證明題類型
    │
    ├──→ 驗證型：子空間、線性變換、正交補
    │        └──→ 逐條驗證定義
    │
    ├──→ 等式型：維度公式、相似矩陣
    │        └──→ 兩邊分別計算或找包含關係
    │
    └──→ 存在型：反例
             └──→ 極端情況、小維度、特殊矩陣

模板 1：子空間證明¶

題型¶

「證明集合 $W$ 是向量空間 $V$ 的子空間。」

模板¶

要證 $W$ 是 $V$ 的子空間，驗證三個條件：

非空：$\mathbf{0} \in W$
加法封閉：若 $\mathbf{u}, \mathbf{v} \in W$，則 $\mathbf{u} + \mathbf{v} \in W$
純量乘法封閉：若 $\mathbf{u} \in W$，$c \in \mathbb{F}$，則 $c\mathbf{u} \in W$

例題¶

證明 $W = \{(x, y, z) \in \mathbb{R}^3 : x + y + z = 0\}$ 是 $\mathbb{R}^3$ 的子空間。

證明：

非空：$(0, 0, 0)$ 滿足 $0 + 0 + 0 = 0$，故 $\mathbf{0} \in W$。
加法封閉：設 $(x_1, y_1, z_1), (x_2, y_2, z_2) \in W$，即 $$x_1 + y_1 + z_1 = 0, \quad x_2 + y_2 + z_2 = 0$$

則： $$(x_1 + x_2) + (y_1 + y_2) + (z_1 + z_2) = (x_1 + y_1 + z_1) + (x_2 + y_2 + z_2) = 0$$

故 $(x_1 + x_2, y_1 + y_2, z_1 + z_2) \in W$。

純量乘法封閉：設 $(x, y, z) \in W$，$c \in \mathbb{R}$。

$$cx + cy + cz = c(x + y + z) = c \cdot 0 = 0$$

故 $c(x, y, z) = (cx, cy, cz) \in W$。

由 1-3，$W$ 是 $\mathbb{R}^3$ 的子空間。$\square$

模板 2：線性變換證明¶

題型¶

「證明映射 $T$ 是線性變換。」

模板¶

要證 $T: V \to W$ 是線性變換，驗證：

\[T(\alpha\mathbf{u} + \beta\mathbf{v}) = \alpha T(\mathbf{u}) + \beta T(\mathbf{v})\]

對所有 $\mathbf{u}, \mathbf{v} \in V$ 和 $\alpha, \beta \in \mathbb{F}$。

或者分開驗證：

$T(\mathbf{u} + \mathbf{v}) = T(\mathbf{u}) + T(\mathbf{v})$
$T(c\mathbf{u}) = cT(\mathbf{u})$

例題¶

設 $T: \mathbb{R}^{2 \times 2} \to \mathbb{R}^{2 \times 2}$，$T(A) = A^T$。證明 $T$ 是線性變換。

證明：

對任意 $A, B \in \mathbb{R}^{2 \times 2}$，$c \in \mathbb{R}$：

\[T(A + B) = (A + B)^T = A^T + B^T = T(A) + T(B)\]
\[T(cA) = (cA)^T = cA^T = cT(A)\]

故 $T$ 是線性變換。$\square$

模板 3：正交補證明¶

題型¶

「證明 $(W^\perp)^\perp = W$」（$W$ 是有限維內積空間的子空間）。

模板¶

Step 1：證明 $W \subseteq (W^\perp)^\perp$

設 $\mathbf{w} \in W$。對任意 $\mathbf{v} \in W^\perp$：

$$\langle \mathbf{w}, \mathbf{v} \rangle = 0$$（由 $W^\perp$ 的定義）

所以 $\mathbf{w}$ 與 $W^\perp$ 中每個向量正交，即 $\mathbf{w} \in (W^\perp)^\perp$。

Step 2：證明維度相等

\[\dim(W) + \dim(W^\perp) = \dim(V)$$ $$\dim(W^\perp) + \dim((W^\perp)^\perp) = \dim(V)\]

因此 $\dim(W) = \dim((W^\perp)^\perp)$。

Step 3：結論

$W \subseteq (W^\perp)^\perp$ 且維度相等，故 $W = (W^\perp)^\perp$。$\square$

模板 4：特徵值性質證明¶

題型¶

「證明對稱矩陣的特徵值都是實數。」

模板¶

設 $A$ 是實對稱矩陣，$A\mathbf{v} = \lambda\mathbf{v}$，$\mathbf{v} \neq \mathbf{0}$（$\lambda$ 和 $\mathbf{v}$ 可能是複數）。

方法：計算 $\bar{\mathbf{v}}^H A \mathbf{v}$（兩種方式）

方式一：$\bar{\mathbf{v}}^H A \mathbf{v} = \bar{\mathbf{v}}^H (\lambda \mathbf{v}) = \lambda \bar{\mathbf{v}}^H \mathbf{v} = \lambda \|\mathbf{v}\|^2$
方式二：因為 $A = A^T$（實對稱）且 $\bar{A} = A$（實矩陣）： $$\bar{\mathbf{v}}^H A \mathbf{v} = (A^H \bar{\mathbf{v}})^H \mathbf{v} = (A\bar{\mathbf{v}})^H \mathbf{v} = (\bar{\lambda}\bar{\mathbf{v}})^H \mathbf{v} = \bar{\lambda} \|\mathbf{v}\|^2$$

比較：$\lambda \|\mathbf{v}\|^2 = \bar{\lambda} \|\mathbf{v}\|^2$

因為 $\|\mathbf{v}\|^2 > 0$，所以 $\lambda = \bar{\lambda}$，即 $\lambda$ 是實數。$\square$

模板 5：Cauchy-Schwarz 不等式證明¶

題型¶

「證明 $|\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle| \leq \|\mathbf{u}\| \|\mathbf{v}\|$。」

模板¶

情況 1：$\mathbf{v} = \mathbf{0}$，不等式顯然成立（兩邊都是 0）。

情況 2：$\mathbf{v} \neq \mathbf{0}$。對任意 $t \in \mathbb{R}$，考慮：

\[0 \leq \|\mathbf{u} - t\mathbf{v}\|^2 = \langle \mathbf{u} - t\mathbf{v}, \mathbf{u} - t\mathbf{v} \rangle\]

展開：

\[0 \leq \|\mathbf{u}\|^2 - 2t\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle + t^2\|\mathbf{v}\|^2\]

這是關於 $t$ 的二次函數，係數 $\|\mathbf{v}\|^2 > 0$，且 $\geq 0$。

所以判別式 $\leq 0$：

\[\Delta = 4\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle^2 - 4\|\mathbf{u}\|^2\|\mathbf{v}\|^2 \leq 0\]

因此 $\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle^2 \leq \|\mathbf{u}\|^2\|\mathbf{v}\|^2$，取平方根得證。$\square$

模板 6：秩-零度定理應用¶

題型¶

「設 $T: V \to W$ 是線性變換，證明...」

常用推論¶

若 $T$ 單射，則 $\dim(\text{Im} T) = \dim(V)$
若 $T$ 滿射，則 $\dim(\ker T) = \dim(V) - \dim(W)$
若 $\dim(V) = \dim(W)$，則 $T$ 單射 $\Leftrightarrow$ $T$ 滿射 $\Leftrightarrow$ $T$ 雙射

例題¶

設 $T: V \to V$ 是線性變換，$\dim(V) = n$。證明：$T$ 單射 $\Leftrightarrow$ $T$ 滿射。

證明：

由秩-零度定理：$\dim(\ker T) + \dim(\text{Im} T) = n$

$T$ 單射 $\Leftrightarrow \ker(T) = \{\mathbf{0}\} \Leftrightarrow \dim(\ker T) = 0$

$\Leftrightarrow \dim(\text{Im} T) = n$

$\Leftrightarrow \text{Im}(T) = V$（因為 $\text{Im}(T) \subseteq V$ 且維度相等）

$\Leftrightarrow T$ 滿射。$\square$

模板 7：矩陣相似的等價條件¶

題型¶

「若 $A$ 和 $B$ 相似，證明它們有相同的...」

相似矩陣的共同性質¶

若 $B = P^{-1}AP$，則 $A$ 和 $B$ 有相同的：

特徵多項式（因此特徵值相同）
跡（$\text{tr}(A) = \text{tr}(B)$）
行列式（$\det(A) = \det(B)$）
秩（$\text{rank}(A) = \text{rank}(B)$）

證明 det(A) = det(B)¶

\[\det(B) = \det(P^{-1}AP) = \det(P^{-1})\det(A)\det(P) = \frac{1}{\det(P)}\det(A)\det(P) = \det(A)\]

$\square$

模板 8：行空間與零空間正交¶

題型¶

「證明 $\text{Row}(A) \perp \text{Null}(A)$。」

證明¶

設 $\mathbf{x} \in \text{Null}(A)$，即 $A\mathbf{x} = \mathbf{0}$。

設 $\mathbf{r}$ 是 $A$ 的任一行向量。則 $\mathbf{r}^T$ 是 $A$ 的某一行，設為第 $i$ 行。

$A\mathbf{x} = \mathbf{0}$ 意味著 $(A\mathbf{x})_i = 0$，即 $\mathbf{r}^T \mathbf{x} = 0$。

所以 $\mathbf{r} \perp \mathbf{x}$。

由於 $\text{Row}(A) = \text{Span}\{\text{行向量}\}$，且每個行向量都與 $\mathbf{x}$ 正交，故 $\text{Row}(A) \perp \mathbf{x}$。

這對所有 $\mathbf{x} \in \text{Null}(A)$ 成立，故 $\text{Row}(A) \perp \text{Null}(A)$。$\square$

模板 9：構造反例¶

題型¶

「證明或給反例：...」

策略¶

極端情況：零矩陣、單位矩陣、對角矩陣
小維度：$2 \times 2$ 矩陣通常足夠
特殊結構：冪零矩陣、投影矩陣、對稱矩陣

常用反例¶

命題	反例
$AB = BA$	$A = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$，$B = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$
可對角化 $\Rightarrow$ 不同特徵值	$I$（只有特徵值 1，但可對角化）
相同特徵多項式 $\Rightarrow$ 相似	$\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$ 與 $O$
$\det(A+B) = \det(A) + \det(B)$	$A = B = I$

模板 10：利用維度論證¶

技巧¶

若要證明 $W_1 = W_2$，可以：

證明 $W_1 \subseteq W_2$
證明 $\dim(W_1) = \dim(W_2)$

例題¶

證明 $\text{Col}(AA^T) = \text{Col}(A)$。

證明：

Step 1：$\text{Col}(AA^T) \subseteq \text{Col}(A)$

$AA^T\mathbf{y} = A(A^T\mathbf{y}) \in \text{Col}(A)$。✓

Step 2：維度相等

$\text{rank}(AA^T) = \text{rank}(A)$（標準結論）

所以 $\dim(\text{Col}(AA^T)) = \dim(\text{Col}(A))$。

Step 3：結論

$\text{Col}(AA^T) \subseteq \text{Col}(A)$ 且維度相等，故 $\text{Col}(AA^T) = \text{Col}(A)$。$\square$

命題	反例
\(AB = BA\)	\(A = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}\)，\(B = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}\)
可對角化 \(\Rightarrow\) 不同特徵值	\(I\)（只有特徵值 1，但可對角化）
相同特徵多項式 \(\Rightarrow\) 相似	\(\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}\) 與 \(O\)
\(\det(A+B) = \det(A) + \det(B)\)	\(A = B = I\)