挑戰 C：計算速殺技¶

台大考試 150 分鐘，平均每題 10-15 分鐘。這些技巧能省下 50% 計算時間。

核心原則¶

速算優先順序：

看到矩陣 → 先觀察結構
    │
    ├──→ 三角/對角？ → det = 對角線乘積
    ├──→ 分塊結構？ → 分塊公式
    ├──→ 特殊形式？ → aI + bJ、Vandermonde
    └──→ 都不是 → 行運算化三角

技巧 1：特徵值速算¶

核心公式¶

對 \(n \times n\) 矩陣 \(A\)，設特徵值為 \(\lambda_1, \ldots, \lambda_n\)：

公式	說明
\(\text{tr}(A) = \sum_{i=1}^n a_{ii} = \sum_{i=1}^n \lambda_i\)	跡 = 對角線元素和 = 特徵值和
\(\det(A) = \prod_{i=1}^n \lambda_i\)	行列式 = 特徵值乘積

2×2 矩陣秒殺¶

對 \(A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}\)：

\[\lambda^2 - \text{tr}(A)\lambda + \det(A) = 0\]

\[\lambda^2 - (a+d)\lambda + (ad-bc) = 0\]

直接用求根公式：

\[\lambda = \frac{(a+d) \pm \sqrt{(a+d)^2 - 4(ad-bc)}}{2}\]

例題¶

求 \(A = \begin{bmatrix} 5 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}\) 的特徵值。

速解：

\(\text{tr}(A) = 9\)
\(\det(A) = 20 - 6 = 14\)
特徵方程：\(\lambda^2 - 9\lambda + 14 = 0\)
分解：\((\lambda - 7)(\lambda - 2) = 0\)
答案：\(\lambda_1 = 7\)，\(\lambda_2 = 2\)

已知部分特徵值¶

如果已知 \(n-1\) 個特徵值，用 \(\text{tr}(A)\) 算最後一個。

例題（台大 113 年）：\(A\) 的兩個特徵值是 \(-48, 24\)，\(\text{tr}(A) = 12\)，求第三個。

\[-48 + 24 + \lambda_3 = 12 \Rightarrow \lambda_3 = 36\]

技巧 2：行列式速算¶

特殊矩陣¶

矩陣類型	行列式
對角矩陣	對角線元素乘積
上/下三角矩陣	對角線元素乘積
分塊對角矩陣 \(\begin{bmatrix} A & O \\ O & B \end{bmatrix}\)	\(\det(A)\det(B)\)

行列式性質¶

性質	公式
乘法性	\(\det(AB) = \det(A)\det(B)\)
轉置不變	\(\det(A^T) = \det(A)\)
純量乘法	\(\det(cA) = c^n\det(A)\)
逆矩陣	\(\det(A^{-1}) = \frac{1}{\det(A)}\)

行運算對行列式的影響¶

操作	對行列式的影響
交換兩行	變號（乘 \(-1\)）
某行乘 \(c\)	乘 \(c\)
某行加上另一行的倍數	不變

例題¶

計算 \(\det(2A^{-1})\)，已知 \(A\) 是 \(3 \times 3\) 矩陣且 \(\det(A) = 5\)。

速解：

\[\det(2A^{-1}) = 2^3 \det(A^{-1}) = 8 \cdot \frac{1}{5} = \frac{8}{5}\]

技巧 3：秩的快速判斷¶

秩的性質¶

性質	公式
轉置不變	\(\text{rank}(A) = \text{rank}(A^T)\)
與 Gram 矩陣相等	\(\text{rank}(A) = \text{rank}(A^TA) = \text{rank}(AA^T)\)
乘積上界	\(\text{rank}(AB) \leq \min(\text{rank}(A), \text{rank}(B))\)
和的上界	\(\text{rank}(A+B) \leq \text{rank}(A) + \text{rank}(B)\)
滿秩乘法	若 \(B\) 可逆，\(\text{rank}(AB) = \text{rank}(A)\)

快速判斷技巧¶

方陣滿秩 \(\Leftrightarrow\) \(\det \neq 0\) \(\Leftrightarrow\) 可逆
列滿秩 \(\Leftrightarrow\) \(\text{rank}(A) = n\)（列數）\(\Leftrightarrow\) \(A^TA\) 可逆
行滿秩 \(\Leftrightarrow\) \(\text{rank}(A) = m\)（行數）\(\Leftrightarrow\) \(AA^T\) 可逆

技巧 4：多項式求逆矩陣¶

核心思想¶

若已知 \(A\) 滿足多項式關係 \(p(A) = O\)，可以利用因式分解求 \(A^{-1}\)。

例題 1¶

若 \(A^2 - 5A + 6I = O\)，求 \(A^{-1}\)。

速解：

\[ \begin{aligned} A^2 - 5A + 6I &= O \\ A^2 - 5A &= -6I \\ A(A - 5I) &= -6I \\ A \cdot \frac{-1}{6}(A - 5I) &= I \end{aligned} \]

所以：

\[A^{-1} = \frac{-1}{6}(A - 5I) = \frac{1}{6}(5I - A)\]

例題 2¶

若 \(A^3 - 4A^2 + 3A = 5I\)，求 \(A^{-1}\)。

速解：

\[A(A^2 - 4A + 3I) = 5I \quad \Rightarrow \quad A \cdot \frac{1}{5}(A^2 - 4A + 3I) = I\]

所以：

\[A^{-1} = \frac{1}{5}(A^2 - 4A + 3I)\]

例題 3（利用 Cayley-Hamilton）¶

若 \(A\) 的特徵多項式是 \(\lambda^3 - 6\lambda^2 + 11\lambda - 6\)，求 \(A^{-1}\)。

速解：

由 Cayley-Hamilton：\(A^3 - 6A^2 + 11A - 6I = O\)

\[A(A^2 - 6A + 11I) = 6I \quad \Rightarrow \quad A^{-1} = \frac{1}{6}(A^2 - 6A + 11I)\]

技巧 5：矩陣冪次¶

對角化技巧¶

若 \(A = PDP^{-1}\)，則：

\[A^k = PD^kP^{-1}\]

其中 \(D^k\) 只是對角線元素各自取 \(k\) 次方。

不可對角化時：冪零分解¶

對某些矩陣，可利用 \(A = I + N\)（\(N\) 是冪零矩陣）：

\[(I + N)^k = I + \binom{k}{1}N + \binom{k}{2}N^2 + \cdots\]

若 \(N^m = O\)，級數在有限項後截斷。

例題¶

求 \(A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\) 的 \(A^{100}\)。

速解：

注意 \(A = I + N\)，其中 \(N = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}\)，\(N^2 = O\)。

\[A^{100} = (I + N)^{100} = I + 100N = \begin{bmatrix} 1 & 100 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\]

技巧 6：正交矩陣的便利性¶

正交矩陣的性質¶

若 \(Q\) 正交（\(Q^TQ = I\)），則：

\(Q^{-1} = Q^T\)（不用算逆！）
\(\|Q\mathbf{x}\| = \|\mathbf{x}\|\)（保長度）
\(\det(Q) = \pm 1\)

應用：對稱矩陣的正交對角化¶

若 \(A = QDQ^T\)（\(Q\) 正交），則：

\[A^{-1} = QD^{-1}Q^T\]

其中 \(D^{-1}\) 只是對角線元素取倒數。

技巧 7：分塊矩陣¶

分塊乘法¶

\[\begin{bmatrix} A & B \\ C & D \end{bmatrix} \begin{bmatrix} E \\ F \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} AE + BF \\ CE + DF \end{bmatrix}\]

分塊行列式¶

若 \(A\)、\(D\) 都是方陣且 \(CD = DC\)：

\[\det\begin{bmatrix} A & B \\ C & D \end{bmatrix} = \det(AD - BC)\]

特別地，若 \(C = O\)：

\[\det\begin{bmatrix} A & B \\ O & D \end{bmatrix} = \det(A)\det(D)\]

速查表：常用結果¶

情況	結果
\(A\) 對稱	特徵值實數，可正交對角化
\(A\) 反對稱（\(A^T = -A\)）	特徵值純虛或 0
\(A\) 正交	特徵值模長為 1
\(A\) 冪等（\(A^2 = A\)）	特徵值只有 0 或 1
\(A\) 冪零（\(A^k = O\)）	所有特徵值為 0
\(A\) 可逆	0 不是特徵值
\(\text{rank}(A) = r\)	有 \(n - r\) 個零特徵值

速查表：2×2 矩陣公式¶

計算	公式
\(\det A\)	\(ad - bc\)
\(\text{tr}(A)\)	\(a + d\)
特徵值	\(\lambda = \frac{(a+d) \pm \sqrt{(a-d)^2 + 4bc}}{2}\)
\(A^{-1}\)	\(\frac{1}{ad-bc}\begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}\)

計時練習¶

嘗試在 30 秒內完成：

\(A = \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 4 \end{bmatrix}\)，求特徵值。
\(\det(3A)\)，\(A\) 是 \(4 \times 4\)，\(\det(A) = 2\)。
\(A^2 - 3A + 2I = O\)，求 \(A^{-1}\)。

答案

\(\text{tr} = 7\)，\(\det = 10\)，\(\lambda^2 - 7\lambda + 10 = 0\)，\(\lambda = 5, 2\)
\(3^4 \times 2 = 162\)
\(A^{-1} = \frac{1}{2}(3I - A)\)