挑戰 A：概念陷阱區¶
T/F 題型的關鍵：區分「一般成立」和「有條件成立」。一個反例就能推翻錯誤敘述。
核心原則¶
做 T/F 題的心法：
- 看到「一定」→ 找反例
- 看到「若...則...」→ 驗證條件是否充分
- 區分「必要」vs「充分」
陷阱 1：正交 vs 線性獨立¶
| 敘述 | 答案 | 關鍵 |
|---|---|---|
| 正交向量組必線性獨立 | ✅（非零時） | \(\mathbf{0}\) 與所有向量正交但不獨立 |
| 線性獨立必正交 | ❌ | \((1,0)\), \((1,1)\) 獨立但不正交 |
證明（非零正交 ⟹ 獨立）：
設 \(c_1\mathbf{v}_1 + \cdots + c_k\mathbf{v}_k = \mathbf{0}\)，取 \(\langle \cdot, \mathbf{v}_i \rangle\)：
陷阱 2：正交補的正交補¶
| 敘述 | 答案 | 條件 |
|---|---|---|
| \((W^\perp)^\perp = W\)（\(W\) 是子空間） | ✅ 有限維 | 無限維可能 \(\subsetneq\) |
| \((S^\perp)^\perp = S\)（\(S\) 是任意集合） | ❌ | 應為 \(\overline{\text{span}(S)}\) |
反例：\(S = \{(1,0), (0,1), (1,1)\} \subset \mathbb{R}^2\)
- \(\text{span}(S) = \mathbb{R}^2\)
- \(S^\perp = \{(0,0)\}\)
- \((S^\perp)^\perp = \mathbb{R}^2 \neq S\)
陷阱 3：nullity(A) vs nullity(Aᵏ)¶
| 敘述 | 答案 |
|---|---|
| nullity\((A) =\) nullity\((A^2)\) | ❌ |
| nullity\((A) \leq\) nullity\((A^2)\) | ✅ |
| 存在 \(k\) 使 nullity\((A^k) =\) nullity\((A^{k+1})\) | ✅ |
反例：\(A = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}\)
- \(\ker(A) = \text{span}\{(1,0)\}\)，nullity = 1
- \(A^2 = O\)，\(\ker(A^2) = \mathbb{R}^2\)，nullity = 2
正確關係：
陷阱 4：對稱矩陣特權¶
| 性質 | 對稱矩陣 | 一般矩陣 |
|---|---|---|
| 特徵值 | 全實數 | 可能複數 |
| 特徵向量 | 可取正交 | 不一定正交 |
| 可對角化 | 必定可（正交對角化） | 不一定 |
| \(A^TA\) | \(= A^2\) | \(\neq A^2\) |
陷阱 5：可逆性判定¶
| 敘述 | 答案 | 說明 |
|---|---|---|
| \(A^TA\) 可逆 ⟹ \(A\) 可逆 | ❌ | \(A\) 可能非方陣 |
| \(AB\) 可逆 ⟹ \(A, B\) 都可逆 | ✅（方陣時） | \(\det(AB) = \det(A)\det(B) \neq 0\) |
| \(A + B\) 可逆（\(A, B\) 都可逆） | ❌ | \(I + (-I) = O\) |
| \(A^2 = A\) ⟹ \(A\) 可逆 | ❌ | 只有 \(A = I\) 時可逆 |
| \(A^2 = I\) ⟹ \(A\) 可逆 | ✅ | \(A^{-1} = A\) |
| \(A^k = O\) ⟹ \(A\) 可逆 | ❌ | \(\det(A)^k = 0\) |
陷阱 6：特徵值陷阱¶
| 敘述 | 答案 | 反例/說明 |
|---|---|---|
| \(n\) 個不同特徵值 ⟹ 可對角化 | ✅ | 不同特徵值特徵向量獨立 |
| 可對角化 ⟹ \(n\) 個不同特徵值 | ❌ | \(I\) 只有 \(\lambda = 1\) |
| 相同特徵多項式 ⟹ 相似 | ❌ | 需 Jordan form 相同 |
| \(\lambda = 0\) 是特徵值 ⟺ 不可逆 | ✅ | \(\det = \prod \lambda_i\) |
| \(AB\) 和 \(BA\) 特徵值相同 | ✅（非零） | \(\lambda = 0\) 重數可不同 |
陷阱 7：行列式陷阱¶
| 敘述 | 答案 | 正確公式 |
|---|---|---|
| \(\det(A + B) = \det(A) + \det(B)\) | ❌ | 無簡單公式 |
| \(\det(cA) = c\det(A)\) | ❌ | \(= c^n \det(A)\) |
| \(\det(AB) = \det(A)\det(B)\) | ✅ | |
| \(\det(A^T) = \det(A)\) | ✅ | |
| \(\det(A^{-1}) = 1/\det(A)\) | ✅ |
陷阱 8：秩的性質¶
| 敘述 | 答案 | 公式 |
|---|---|---|
| rank\((AB) =\) rank\((A)\)rank\((B)\) | ❌ | |
| rank\((AB) \leq \min(\)rank\((A)\), rank\((B))\) | ✅ | 上界 |
| rank\((A + B) \leq\) rank\((A) +\) rank\((B)\) | ✅ | |
| rank\((A) =\) rank\((A^T)\) | ✅ | |
| rank\((A) =\) rank\((A^TA)\) | ✅ |
Sylvester 下界：rank\((AB) \geq\) rank\((A) +\) rank\((B) - n\)
陷阱 9：投影矩陣¶
| 敘述 | 答案 | 說明 |
|---|---|---|
| 投影矩陣特徵值只能是 0 或 1 | ✅ | \(P^2 = P \Rightarrow \lambda^2 = \lambda\) |
| 投影矩陣一定對稱 | ❌ | 只有正交投影對稱 |
| rank\((P) +\) nullity\((P) = n\) | ✅ | 秩-零度定理 |
| \(P^2 = P\) ⟹ \(P\) 可對角化 | ✅ | 最小多項式 \(t(t-1)\) 無重根 |
陷阱 10：內積空間¶
| 敘述 | 答案 | 說明 |
|---|---|---|
| \(\|\mathbf{u} + \mathbf{v}\|^2 = \|\mathbf{u}\|^2 + \|\mathbf{v}\|^2\) | ❌ | 只在正交時成立 |
| Cauchy-Schwarz 等號 ⟺ 平行 | ❌ | ⟺ 線性相依（含一方為零） |
| 正交矩陣行列式 = 1 | ❌ | \(= \pm 1\) |
快速檢查表¶
| # | 敘述 | 答案 |
|---|---|---|
| 1 | 正交（非零）⟹ 線性獨立 | ✅ |
| 2 | 線性獨立 ⟹ 正交 | ❌ |
| 3 | \((W^\perp)^\perp = W\)（有限維子空間） | ✅ |
| 4 | nullity\((A) =\) nullity\((A^2)\) | ❌ |
| 5 | 對稱矩陣特徵值全實數 | ✅ |
| 6 | 所有矩陣可對角化 | ❌ |
| 7 | \(n\) 個不同特徵值 ⟹ 可對角化 | ✅ |
| 8 | 相同特徵多項式 ⟹ 相似 | ❌ |
| 9 | \(A^TA\) 可逆 ⟹ \(A\) 可逆 | ❌ |
| 10 | \(AB\) 可逆 ⟹ \(A, B\) 可逆（方陣） | ✅ |
| 11 | \(\det(A + B) = \det(A) + \det(B)\) | ❌ |
| 12 | \(\det(cA) = c^n\det(A)\) | ✅ |
| 13 | 投影矩陣特徵值 \(\in \{0, 1\}\) | ✅ |
| 14 | 投影矩陣一定對稱 | ❌ |
| 15 | rank\((A) =\) rank\((A^T)\) | ✅ |
題目練習¶
A.1 判斷 T/F：若 \(A\) 是 \(m \times n\) 矩陣，\(m < n\)，則 \(A\mathbf{x} = \mathbf{0}\) 必有非零解。
解答
True
\(A\mathbf{x} = \mathbf{0}\) 是 \(m\) 個方程、\(n\) 個未知數。
rank\((A) \leq m < n\)
nullity\((A) = n -\) rank\((A) \geq n - m > 0\)
所以存在非零解。
A.2 判斷 T/F：若 \(A^3 = A\)，則 \(A\) 可對角化。
解答
True
\(A^3 - A = O \Rightarrow A(A^2 - I) = O \Rightarrow A(A-I)(A+I) = O\)
最小多項式整除 \(t(t-1)(t+1)\)，無重根。
故 \(A\) 可對角化。
A.3 判斷 T/F：若 \(A\) 是實矩陣且 \(A^2 = -I\)，則 \(A\) 沒有實特徵值。
解答
True
\(\lambda^2 = -1 \Rightarrow \lambda = \pm i\)
所有特徵值都是純虛數，沒有實特徵值。
A.4 判斷 T/F：若 \(\text{tr}(A) = 0\) 且 \(\det(A) = 0\)，則 \(A = O\)。
解答
False
反例：\(A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}\) 不行（\(\det = -1\)）
試 \(A = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}\)：\(\text{tr} = 0\)，\(\det = 0\)，但 \(A \neq O\)