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Q1：向量空間

考點：向量空間公理、子空間判定、基底與維度、\(\mathbb{Z}_2^n\) 有限域

核心概念

向量空間的本質：不是「數組」，而是「可做線性組合的結構」。

\[V \text{ 是向量空間} \Leftrightarrow \forall \mathbf{u}, \mathbf{v} \in V, \ \forall c, d \in F: \ c\mathbf{u} + d\mathbf{v} \in V\]

邏輯鏈：

向量空間(域 F)
    │
    ├──→ 基底：最少向量張開空間（線性獨立 + 張成）
    │        │
    │        └──→ 維度 = 基底大小（不變量）
    │
    └──→ 子空間判定：① 含零向量 ② 加法封閉 ③ 純量乘法封閉
             │
             └──→ 子空間必過「原點」（$\mathbf{0} \in W$）

維度公式：

  • \(\dim(V) = n \Rightarrow\) 任意 \(n+1\) 個向量必線性相依
  • \(\dim(V) = n \Rightarrow\) 任意 \(n\) 個獨立向量必是基底

題型分類

類型 1：ℤ₂ⁿ 有限域向量空間

\(\mathbb{Z}_2 = \{0, 1\}\)，運算 mod 2。\(\mathbb{Z}_2^n\) 有幾個元素？維度？

  • 元素個數：\(2^n\)（每個位置 0 或 1）
  • 維度：\(n\)（標準基底 \(\mathbf{e}_1, \ldots, \mathbf{e}_n\)）

子空間問題：\(W = \{\mathbf{x} \in \mathbb{Z}_2^n : x_1 \oplus x_2 \oplus \cdots \oplus x_n = 0\}\)

  • 這是「偶校驗碼」的數學模型
  • \(\dim(W) = n - 1\)（\(W = \ker(\mathbf{1}^T)\)，由秩-零度定理）
  • \(|W| = 2^{n-1}\)

類型 2：對稱/反對稱/Hermitian 矩陣空間

空間 定義 維度（\(n \times n\)）
對稱矩陣 \(S_n\) \(A^T = A\) \(\frac{n(n+1)}{2}\)
反對稱矩陣 \(K_n\) \(A^T = -A\) \(\frac{n(n-1)}{2}\)
Hermitian 矩陣 \(H_n\) \(A^* = A\)（共軛轉置） \(n^2\)（實維度）

關鍵洞察：\(M_{n \times n} = S_n \oplus K_n\)（直和分解）

  • 任意 \(A = \frac{A + A^T}{2} + \frac{A - A^T}{2}\)
  • \(\dim(S_n) + \dim(K_n) = \frac{n(n+1)}{2} + \frac{n(n-1)}{2} = n^2 = \dim(M_{n \times n})\) ✓

類型 3：多項式空間

\(\mathcal{P}_n = \{a_0 + a_1 x + \cdots + a_n x^n : a_i \in \mathbb{R}\}\)

  • \(\dim(\mathcal{P}_n) = n + 1\)
  • 標準基底：\(\{1, x, x^2, \ldots, x^n\}\)

子空間：\(W = \{p \in \mathcal{P}_3 : p(1) = 0\}\)

  • 條件：\(a_0 + a_1 + a_2 + a_3 = 0\)
  • \(\dim(W) = 3\)（自由度 \(a_1, a_2, a_3\)，\(a_0 = -(a_1 + a_2 + a_3)\)）

陷阱

陷阱 1：子空間必過原點

\[ax + by + cz = d \text{ 是子空間} \Leftrightarrow d = 0\]

反例：\(x + y + z = 1\) 不是子空間（\(\mathbf{0}\) 不在裡面）

陷阱 2：有限域的線性獨立

在 \(\mathbb{Z}_2\) 中：

  • \((1, 1) + (1, 1) = (0, 0)\)（因為 \(1 + 1 = 0\) mod 2）
  • 所以 \(\{(1,1)\}\) 的線性組合只有 \(\{(0,0), (1,1)\}\)

注意：\(\mathbb{Z}_2\) 上係數只能是 0 或 1！

陷阱 3：函數空間的維度

\(C[0,1]\)（\([0,1]\) 上連續函數）是向量空間，但維度**無限**！

區分：

  • \(\mathcal{P}_n\)（次數 \(\leq n\) 的多項式）：\(\dim = n+1\)（有限）
  • \(\mathcal{P}\)（所有多項式）：\(\dim = \infty\)
  • \(C[0,1]\)：\(\dim = \infty\)

陷阱 4：基底不唯一，維度唯一

\(\mathbb{R}^2\) 的基底：

  • \(\{(1,0), (0,1)\}\) ✓
  • \(\{(1,1), (1,-1)\}\) ✓
  • \(\{(1,2), (2,4)\}\) ✗（線性相依）

定理：同一向量空間的所有基底大小相同

題目

基礎題（大二）

1.1 設 \(V = \{A \in M_{3 \times 3}(\mathbb{R}) : \text{tr}(A) = 0\}\)。求 \(\dim(V)\)。

解答

\(\text{tr}(A) = a_{11} + a_{22} + a_{33} = 0\) 是一個線性約束。

自由度：\(9 - 1 = 8\)

答案：\(\dim(V) = 8\)

1.2 設 \(W = \{p \in \mathcal{P}_4 : p(0) = p(1) = 0\}\)。求 \(\dim(W)\) 並給出基底。

解答

\(p(0) = 0 \Rightarrow\) 常數項為 0，\(p(x) = x \cdot q(x)\)

\(p(1) = 0 \Rightarrow\) \(q(1) = 0\)，即 \(q(x) = (x-1) \cdot r(x)\)

所以 \(p(x) = x(x-1) \cdot r(x)\)，\(r \in \mathcal{P}_2\)

基底：\(\{x(x-1), x^2(x-1), x^3(x-1)\}\) 或等價地 \(\{x^2 - x, x^3 - x^2, x^4 - x^3\}\)

答案：\(\dim(W) = 3\)

1.3（\(\mathbb{Z}_2\)）在 \(\mathbb{Z}_2^4\) 中，\(W = \{\mathbf{x} : x_1 + x_2 = 0, \ x_3 + x_4 = 0\}\)（mod 2）。求 \(|W|\) 和 \(\dim(W)\)。

解答

兩個獨立約束 \(\Rightarrow \dim(W) = 4 - 2 = 2\)

\(|W| = 2^2 = 4\)

具體：\(W = \{(0,0,0,0), (1,1,0,0), (0,0,1,1), (1,1,1,1)\}\)

基底：\(\{(1,1,0,0), (0,0,1,1)\}\)

進階題（大三/碩一）

1.4 設 \(H_n(\mathbb{C})\) 是 \(n \times n\) Hermitian 矩陣空間（\(A^* = A\)）。將 \(H_n\) 視為**實向量空間**，求 \(\dim_{\mathbb{R}}(H_n)\)。

解答

Hermitian 矩陣 \(A = (a_{ij})\) 滿足 \(a_{ji} = \overline{a_{ij}}\)。

  • 對角元：\(a_{ii} = \overline{a_{ii}} \Rightarrow a_{ii} \in \mathbb{R}\)，共 \(n\) 個實參數
  • 上三角元（\(i < j\)）：\(a_{ij} = x + iy\) 自由，共 \(\frac{n(n-1)}{2}\) 個，每個 2 個實參數

總實維度：\(n + 2 \cdot \frac{n(n-1)}{2} = n + n(n-1) = n^2\)

答案：\(\dim_{\mathbb{R}}(H_n) = n^2\)

1.5 證明：\(M_{n \times n}(\mathbb{R}) = S_n \oplus K_n\)（對稱 + 反對稱的直和）。

解答

存在性（\(M = S_n + K_n\)）：任意 \(A \in M_{n \times n}\)，令

\[S = \frac{A + A^T}{2}, \quad K = \frac{A - A^T}{2}\]

則 \(S^T = S\)，\(K^T = -K\)，且 \(A = S + K\)。

唯一性（\(S_n \cap K_n = \{O\}\)）：設 \(A \in S_n \cap K_n\)，則

\[A^T = A \text{ 且 } A^T = -A \Rightarrow A = -A \Rightarrow 2A = O \Rightarrow A = O\]

故 \(M_{n \times n} = S_n \oplus K_n\)。\(\square\)

1.6（編碼理論）設 \(C \subseteq \mathbb{Z}_2^7\) 是 Hamming(7,4) 碼，定義為：

\[C = \{\mathbf{x} \in \mathbb{Z}_2^7 : H\mathbf{x} = \mathbf{0}\}\]

其中 \(H\) 是 \(3 \times 7\) 校驗矩陣。若 \(\text{rank}(H) = 3\)，求 \(\dim(C)\) 和 \(|C|\)。

解答

\(C = \ker(H)\)

由秩-零度定理：\(\dim(C) = 7 - \text{rank}(H) = 7 - 3 = 4\)

\(|C| = 2^4 = 16\)

答案：\(\dim(C) = 4\)，\(|C| = 16\)

概念關聯

向量空間 V (域 F)
    │
    ├──→ 子空間 W ⊆ V
    │        │
    │        ├──→ 判定：0 ∈ W, 加法封閉, 純量乘法封閉
    │        │
    │        └──→ 齊次方程解空間 = ker(A) 是子空間
    │
    └──→ 基底 & 維度
             │
             ├──→ 線性獨立：只有平凡解
             │
             ├──→ 張成：所有線性組合
             │
             └──→ dim(V) = n ⟺ 任意基底有 n 個元素

常見空間維度速查

空間 維度
\(\mathbb{R}^n\) \(n\)
\(\mathbb{Z}_2^n\) \(n\)
\(M_{m \times n}(\mathbb{R})\) \(mn\)
對稱矩陣 \(S_n\) \(\frac{n(n+1)}{2}\)
反對稱矩陣 \(K_n\) \(\frac{n(n-1)}{2}\)
Hermitian \(H_n\)（實維度） \(n^2\)
\(\mathcal{P}_n\) \(n+1\)
\(\{p \in \mathcal{P}_n : p(a) = 0\}\) \(n\)

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