Q2：線性變換¶
考點：線性變換定義、矩陣表示、相似矩陣、基底變換
核心洞察¶
線性變換的本質：
函數 T: V → W
│
└──→ 保持線性結構 ⟺ T(αu + βv) = αT(u) + βT(v)
│
├──→ T(0) = 0（必然）
│
└──→ 由基底上的值完全決定
│
└──→ 矩陣 A = [T(e₁) | T(e₂) | ...]
為什麼矩陣能表示線性變換？
關鍵：線性變換由其在基底上的值**完全決定**。
矩陣乘法 = 函數合成：
先做 \(A\) 再做 \(B\) → 矩陣乘法順序是 \(BA\)（右到左！）
題型分類¶
類型 1：判斷線性變換¶
| 映射 | 線性？ | 關鍵 |
|---|---|---|
| \(T(\mathbf{v}) = A\mathbf{v}\) | ✅ | 矩陣乘法 |
| \(T(\mathbf{v}) = \mathbf{v} + \mathbf{a}\)（平移） | ❌ | \(T(\mathbf{0}) = \mathbf{a} \neq \mathbf{0}\) |
| \(T(A) = A^T\)（轉置） | ✅ | \((A+B)^T = A^T + B^T\) |
| \(T(A) = \det(A)\) | ❌ | \(\det(A+B) \neq \det(A) + \det(B)\) |
| \(D(p) = p'\)（微分） | ✅ | \((p+q)' = p' + q'\) |
類型 2：矩陣表示¶
求微分算子 \(D: \mathcal{P}_2 \to \mathcal{P}_2\) 在基底 \(\{1, x, x^2\}\) 下的矩陣。
解法：計算 \(D\) 對各基底的作用
- \(D(1) = 0\)
- \(D(x) = 1\)
- \(D(x^2) = 2x\)
類型 3：基底變換（相似矩陣）¶
\(T\) 在基底 \(\mathcal{B}\) 下矩陣是 \(A\)，求在 \(\mathcal{C}\) 下的矩陣。
其中 \(P\) 的列是 \(\mathcal{C}\) 基底向量在 \(\mathcal{B}\) 下的座標。
陷阱¶
陷阱 1：平移不是線性變換¶
\(T(\mathbf{v}) = \mathbf{v} + \mathbf{a}\)
最快判斷：\(T(\mathbf{0}) = \mathbf{a} \neq \mathbf{0}\)（線性變換必須 \(T(\mathbf{0}) = \mathbf{0}\)）
陷阱 2：矩陣乘法不滿足交換律¶
\(AB \neq BA\)（一般）
陷阱 3：「線性變換對應唯一矩陣」？¶
錯！ 矩陣依賴於基底選擇。
同一個線性變換在不同基底下有不同矩陣表示（但它們**相似**）。
題目¶
基礎題（大二）¶
2.1 設 \(T: M_{2 \times 2} \to \mathbb{R}\)，\(T(A) = \text{tr}(A)\)。證明 \(T\) 是線性變換並求 \(\ker(T)\)。
解答
線性性：\(\text{tr}(A + B) = \text{tr}(A) + \text{tr}(B)\)，\(\text{tr}(cA) = c \cdot \text{tr}(A)\) ✓
核：\(\ker(T) = \{A : \text{tr}(A) = 0\} = \{A : a_{11} + a_{22} = 0\}\)
\(\dim(\ker T) = 4 - 1 = 3\)
2.2 設 \(T: \mathcal{P}_3 \to \mathcal{P}_2\)，\(T(p) = p'\)。求 \(T\) 在 \(\{1, x, x^2, x^3\}\) 和 \(\{1, x, x^2\}\) 下的矩陣。
解答
- \(T(1) = 0\)
- \(T(x) = 1\)
- \(T(x^2) = 2x\)
- \(T(x^3) = 3x^2\)
2.3 設 \(A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \end{bmatrix}\)，\(P = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}\)。求 \(P^{-1}AP\)。
解答
\(P^{-1} = \frac{1}{-2}\begin{bmatrix} -1 & -1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1/2 & 1/2 \\ 1/2 & -1/2 \end{bmatrix}\)
\(P^{-1}AP = \begin{bmatrix} 3 & -1 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}\)
進階題（大三/碩一）¶
2.4 設 \(T: V \to V\) 是線性變換，\(T^2 = T\)。證明 \(V = \ker(T) \oplus \text{Im}(T)\)。
解答
交集只有零：設 \(\mathbf{v} \in \ker(T) \cap \text{Im}(T)\)
\(\mathbf{v} = T(\mathbf{w})\) 且 \(T(\mathbf{v}) = \mathbf{0}\)
\(\mathbf{0} = T(\mathbf{v}) = T(T(\mathbf{w})) = T^2(\mathbf{w}) = T(\mathbf{w}) = \mathbf{v}\)
維度：\(\dim(\ker T) + \dim(\text{Im} T) = \dim(V)\)（秩-零度）
故 \(V = \ker(T) \oplus \text{Im}(T)\)。\(\square\)
2.5 證明：若 \(A\) 和 \(B\) 相似，則 \(\text{tr}(A) = \text{tr}(B)\) 且 \(\det(A) = \det(B)\)。
解答
\(B = P^{-1}AP\)
跡：\(\text{tr}(B) = \text{tr}(P^{-1}AP) = \text{tr}(APP^{-1}) = \text{tr}(A)\)（循環性質）
行列式：\(\det(B) = \det(P^{-1}AP) = \det(P^{-1})\det(A)\det(P) = \det(A)\) \(\square\)
概念關聯¶
線性變換 T: V → W
│
├──→ 由基底上的值完全決定
│ │
│ └──→ 矩陣 A = [T(e₁)|...|T(eₙ)]
│
├──→ 矩陣乘法 = 函數合成（順序：右到左）
│
└──→ 基底變換：A' = P⁻¹AP（相似矩陣）
│
└──→ 相似矩陣有相同的 tr, det, 特徵多項式