Q3：行列式¶

考點：行列式定義、計算技巧、性質（乘法性、純量乘法）、Cramer 法則

核心洞察¶

行列式的本質：

det(A) = 有向體積縮放因子
    │
    ├──→ |det(A)| = 體積縮放倍數
    │
    ├──→ sign(det(A)) = 是否翻轉方向（+保持，-鏡像）
    │
    └──→ det(A) = 0 ⟺ 維度坍縮 ⟺ 不可逆 ⟺ 有 λ = 0

核心性質：

性質	公式	陷阱
乘法性	$\det(AB) = \det(A)\det(B)$	✓
加法性	$\det(A+B) = ?$	無簡單公式！
純量乘法	$\det(cA) = c^n\det(A)$	不是 $c\det(A)$
轉置	$\det(A^T) = \det(A)$	✓
逆	$\det(A^{-1}) = 1/\det(A)$	需 $\det(A) \neq 0$

題型分類¶

類型 1：速算技巧¶

三角矩陣：$\det = $ 對角線乘積

分塊上三角：$\det\begin{bmatrix} A & B \\ O & D \end{bmatrix} = \det(A)\det(D)$

類型 2：純量乘法陷阱（必考）¶

已知 $A$ 是 $3 \times 3$，$\det(A) = 5$。求 $\det(2A^{-1})$。

\[\det(2A^{-1}) = 2^3 \cdot \det(A^{-1}) = 8 \cdot \frac{1}{5} = \frac{8}{5}\]

類型 3：行運算¶

操作	對 $\det$ 影響
交換兩行	變號 $\times(-1)$
某行乘 $c$	$\times c$
某行加另一行的倍數	不變

類型 4：Vandermonde 行列式¶

\[\det\begin{bmatrix} 1 & a & a^2 \\ 1 & b & b^2 \\ 1 & c & c^2 \end{bmatrix} = (b-a)(c-a)(c-b)\]

一般公式：$\det(V) = \prod_{i < j}(x_j - x_i)$

陷阱¶

陷阱 1：det(A+B) = det(A) + det(B)？¶

大錯！

反例：$A = B = I_2$，$\det(A) = \det(B) = 1$，但 $\det(A+B) = \det(2I) = 4 \neq 2$

陷阱 2：det(cA) = c·det(A)？¶

錯！應該是 $c^n\det(A)$

陷阱 3：det(A) = 0 的意義¶

等價條件鏈：

\[\det(A) = 0 \Leftrightarrow \text{不可逆} \Leftrightarrow \text{rank} < n \Leftrightarrow \ker(A) \neq \{0\} \Leftrightarrow 0 \text{ 是特徵值}\]

題目¶

基礎題（大二）¶

3.1 計算 $\det(3A^{-1}B^T)$，已知 $A, B$ 都是 $4 \times 4$，$\det(A) = 2$，$\det(B) = -3$。

解答

$\det(3A^{-1}B^T) = 3^4 \cdot \det(A^{-1}) \cdot \det(B^T) = 81 \cdot \frac{1}{2} \cdot (-3) = -\frac{243}{2}$

3.2 設 $A = \begin{bmatrix} a & 1 & 1 \\ 1 & a & 1 \\ 1 & 1 & a \end{bmatrix}$。求 $\det(A)$ 並討論何時 $A$ 可逆。

解答

方法：$A = (a-1)I + J$，其中 $J$ 是全 1 矩陣

利用全 1 矩陣特徵值（見挑戰 B 綜合題 4）：

$\det(A) = (a-1)^2(a+2)$

可逆條件：$a \neq 1$ 且 $a \neq -2$

3.3 證明：若 $A^2 = A$，則 $\det(A) \in \{0, 1\}$。

解答

$\det(A^2) = \det(A)$

$(\det A)^2 = \det A$

$\det A(\det A - 1) = 0$

$\det A = 0$ 或 $\det A = 1$ $\square$

進階題（大三/碩一）¶

3.4（Schur 補）設 $A$ 可逆。證明：

\[\det\begin{bmatrix} A & B \\ C & D \end{bmatrix} = \det(A) \det(D - CA^{-1}B)\]

解答

分塊消去：

\[\begin{bmatrix} I & O \\ -CA^{-1} & I \end{bmatrix} \begin{bmatrix} A & B \\ C & D \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} A & B \\ O & D - CA^{-1}B \end{bmatrix}\]

左乘矩陣行列式 = 1（下三角，對角全 1）

右邊分塊上三角，$\det = \det(A)\det(D - CA^{-1}B)$ $\square$

3.5 Vandermonde：證明 $\det\begin{bmatrix} 1 & x_1 & x_1^2 \\ 1 & x_2 & x_2^2 \\ 1 & x_3 & x_3^2 \end{bmatrix} = (x_2-x_1)(x_3-x_1)(x_3-x_2)$

解答

技巧：第 2 列減第 1 列，第 3 列減第 1 列

\[\det = \det\begin{bmatrix} 1 & x_1 & x_1^2 \\ 0 & x_2-x_1 & x_2^2-x_1^2 \\ 0 & x_3-x_1 & x_3^2-x_1^2 \end{bmatrix}\]

沿第一列展開並因式分解：

$= (x_2-x_1)(x_3-x_1)\det\begin{bmatrix} 1 & x_2+x_1 \\ 1 & x_3+x_1 \end{bmatrix}$

$= (x_2-x_1)(x_3-x_1)(x_3-x_2)$ $\square$

概念關聯¶

det(A) = 有向體積
    │
    ├──→ det(A) ≠ 0 ⟺ 可逆 ⟺ rank = n ⟺ ker = {0}
    │
    ├──→ det(AB) = det(A)det(B)（乘法性）
    │
    ├──→ det(cA) = cⁿdet(A)（純量乘法）
    │
    └──→ det(A) = ∏λᵢ（特徵值乘積）
              │
              └──→ det(A) = 0 ⟺ 有 λ = 0

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性質	公式	陷阱
乘法性	\(\det(AB) = \det(A)\det(B)\)	✓
加法性	\(\det(A+B) = ?\)	無簡單公式！
純量乘法	\(\det(cA) = c^n\det(A)\)	不是 \(c\det(A)\)
轉置	\(\det(A^T) = \det(A)\)	✓
逆	\(\det(A^{-1}) = 1/\det(A)\)	需 \(\det(A) \neq 0\)

操作	對 \(\det\) 影響
交換兩行	變號 \(\times(-1)\)
某行乘 \(c\)	\(\times c\)
某行加另一行的倍數	不變