Q6：核與像¶

考點：核 ker(T)、像 Im(T)、秩-零度定理、單射/滿射判定

核心洞察¶

線性變換的核心分解：

\[T: V \to W\]

核（Kernel）：被「消滅」的向量 $\ker(T) = \{v : T(v) = 0\}$
像（Image）：所有可能輸出 $\text{Im}(T) = \{T(v) : v \in V\}$

秩-零度定理：

\[\dim(\ker T) + \dim(\text{Im} T) = \dim(V)\]

邏輯鏈：

ker(T) = {0} ⟺ T 單射（不丟資訊）
Im(T) = W  ⟺ T 滿射（所有輸出可達）
V = W 且有限維 ⟹ 單射 ⟺ 滿射 ⟺ 雙射 ⟺ 可逆

題型分類¶

類型 1：秩-零度計算¶

$T: \mathbb{R}^5 \to \mathbb{R}^3$，rank$(T) = 2$。求 nullity$(T)$。

\[\text{nullity}(T) = 5 - 2 = 3\]

類型 2：存在性判定¶

$T: \mathbb{R}^{99} \to \mathbb{R}^{100}$，$T$ 可以是單射嗎？

可以！ $\dim(\ker T) = 99 - \dim(\text{Im} T)$

若 $\dim(\text{Im} T) = 99$（可能，因為 $\leq \min(99, 100)$），則 $\dim(\ker T) = 0$，$T$ 單射。

例子：$T(\mathbf{v}) = \begin{bmatrix} \mathbf{v} \\ 0 \end{bmatrix}$

類型 3：nullity(A) vs nullity(Aᵏ)¶

敘述	答案
nullity$(A) =$ nullity$(A^2)$	❌
nullity$(A) \leq$ nullity$(A^2)$	✅

反例：$A = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$

nullity$(A) = 1$，nullity$(A^2) = 2$

正確關係：$\ker(A) \subseteq \ker(A^2) \subseteq \ker(A^3) \subseteq \cdots$（遞增鏈）

陷阱¶

陷阱 1：T: V → V，單射 ⟺ 滿射？¶

只在有限維成立！

無限維反例：右移算子 $T(a_1, a_2, \ldots) = (0, a_1, a_2, \ldots)$ 在 $\ell^2$ 上單射但不滿射。

陷阱 2：n > m 時 T: ℝⁿ → ℝᵐ 必不單射¶

$\dim(\text{Im} T) \leq m < n$

$\Rightarrow \dim(\ker T) = n - \dim(\text{Im} T) > 0$

$\Rightarrow \ker(T) \neq \{0\}$，不單射 ✓

陷阱 3：ker(A) = ker(AᵀA)？¶

是的！

$\ker(A) \subseteq \ker(A^TA)$：顯然
$\ker(A^TA) \subseteq \ker(A)$：若 $A^TA\mathbf{x} = \mathbf{0}$，則 $\|A\mathbf{x}\|^2 = \mathbf{x}^TA^TA\mathbf{x} = 0$

推論：rank$(A^TA) =$ rank$(A)$

題目¶

基礎題（大二）¶

6.1 設 $T: \mathcal{P}_3 \to \mathcal{P}_2$ 定義為 $T(p) = p'$（微分）。求 $\ker(T)$ 和 $\text{Im}(T)$。

解答

$\ker(T) = {p : p' = 0} = $ 常數多項式 $= \text{span}\{1\}$

$\dim(\ker T) = 1$

$\text{Im}(T) = \{$ 次數 $\leq 2$ 的多項式 $\} = \mathcal{P}_2$

$\dim(\text{Im} T) = 3$

驗證：$1 + 3 = 4 = \dim(\mathcal{P}_3)$ ✓

6.2 設 $A$ 是 $m \times n$ 矩陣，$m < n$。證明 $A\mathbf{x} = \mathbf{0}$ 必有非零解。

解答

rank$(A) \leq m < n$

nullity$(A) = n -$ rank$(A) \geq n - m > 0$

所以 $\ker(A) \neq \{0\}$，存在非零解。$\square$

6.3 設 $T: V \to W$，$U \subseteq V$ 是子空間。證明 $\dim(T(U)) = \dim(U) - \dim(U \cap \ker T)$。

解答

對限制映射 $T|_U: U \to W$ 應用秩-零度定理：

$\ker(T|_U) = U \cap \ker(T)$

$\text{Im}(T|_U) = T(U)$

$\dim(U \cap \ker T) + \dim(T(U)) = \dim(U)$ $\square$

進階題（大三/碩一）¶

6.4 設 $\dim(V) = n$，$W_1, W_2$ 是 $V$ 的子空間。若 $\dim(W_1) + \dim(W_2) > n$，證明 $W_1 \cap W_2 \neq \{0\}$。

解答

維度公式：$\dim(W_1 + W_2) = \dim(W_1) + \dim(W_2) - \dim(W_1 \cap W_2)$

$\dim(W_1 + W_2) \leq n$

$\Rightarrow \dim(W_1 \cap W_2) \geq \dim(W_1) + \dim(W_2) - n > 0$

$\Rightarrow W_1 \cap W_2 \neq \{0\}$ $\square$

6.5 證明：若 $AB = I$（$A$ 是 $m \times n$，$B$ 是 $n \times m$），則 $m \leq n$。

解答

$AB = I_m \Rightarrow$ rank$(AB) = m$

rank$(AB) \leq$ rank$(A) \leq n$（列數上界）

$\Rightarrow m \leq n$ $\square$

6.6 設降維矩陣 $W \in \mathbb{R}^{k \times d}$（$k < d$），embedding $\mathbf{x} \in \mathbb{R}^d$。證明：若 $\mathbf{x}_1 - \mathbf{x}_2 \in \ker(W)$，則降維後 $W\mathbf{x}_1 = W\mathbf{x}_2$。

解答

$W\mathbf{x}_1 - W\mathbf{x}_2 = W(\mathbf{x}_1 - \mathbf{x}_2) = \mathbf{0}$

故 $W\mathbf{x}_1 = W\mathbf{x}_2$。$\square$

概念關聯¶

線性變換 T: V → W
    │
    ├──→ ker(T) ⊆ V：被消滅的向量
    │        │
    │        ├──→ dim(ker T) = nullity
    │        │
    │        └──→ ker(T) = {0} ⟺ T 單射
    │
    ├──→ Im(T) ⊆ W：輸出範圍
    │        │
    │        ├──→ dim(Im T) = rank
    │        │
    │        └──→ Im(T) = W ⟺ T 滿射
    │
    └──→ 秩-零度定理：nullity + rank = dim(V)
             │
             └──→ V = W 有限維：單射 ⟺ 滿射 ⟺ 可逆

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敘述	答案
nullity\((A) =\) nullity\((A^2)\)	❌
nullity\((A) \leq\) nullity\((A^2)\)	✅