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Q7：四個子空間

考點：Row space、Column space、Null space、Left null space、正交分解

核心洞察

四個子空間的正交分解：

子空間 所屬空間 維度 正交補
列空間 Col\((A)\) \(\mathbb{R}^n\) \(r\) Null\((A^T)\)
行空間 Row\((A)\) \(\mathbb{R}^m\) \(r\) Null\((A)\)
零空間 Null\((A)\) \(\mathbb{R}^m\) \(m-r\) Row\((A)\)
左零空間 Null\((A^T)\) \(\mathbb{R}^n\) \(n-r\) Col\((A)\)

直和分解：

\[\mathbb{R}^m = \text{Row}(A) \oplus \text{Null}(A)$$ $$\mathbb{R}^n = \text{Col}(A) \oplus \text{Null}(A^T)\]

邏輯鏈：

Row(A) ⊥ Null(A)  ←── A 的每一行與 Null(A) 正交
              │
              └──→ 維度相加 = m

Col(A) ⊥ Null(Aᵀ) ←── Aᵀ 的每一行與 Null(Aᵀ) 正交
              │
              └──→ 維度相加 = n

題型分類

類型 1：(S⊥)⊥ = ?

敘述 答案
\((W^\perp)^\perp = W\)（\(W\) 是子空間） ✅（有限維）
\((S^\perp)^\perp = S\)（\(S\) 是任意集合） ❌

反例：\(S = \{(1,0), (0,1), (1,1)\}\)

  • span\((S) = \mathbb{R}^2\)
  • \(S^\perp = \{0\}\)
  • \((S^\perp)^\perp = \mathbb{R}^2 \neq S\)

正確：\((S^\perp)^\perp = \text{span}(S)\)

類型 2：rank 相等性

敘述 答案 證明要點
rank\((A) =\) rank\((A^T)\) ✅ 列秩 = 行秩
rank\((A) =\) rank\((A^TA)\) ✅ Null\((A) =\) Null\((A^TA)\)
rank\((A) =\) rank\((AA^T)\) ✅ 同上

類型 3：解線性方程組

\(A\mathbf{x} = \mathbf{b}\) 何時有解？

答案：\(\mathbf{b} \in \text{Col}(A)\)

解的結構：\(\mathbf{x} = \mathbf{x}_p + \text{Null}(A)\)（特解 + 零空間）

陷阱

陷阱 1：正交 ⟹ 獨立？

非零時才成立！

  • 非零正交向量必獨立 ✓
  • \(\{0\}\) 與所有向量正交但 \(\{0\}\) 線性相依 ✗

陷阱 2：rank(AB) = rank(A)·rank(B)？

錯！ 只有不等式：

\[\text{rank}(AB) \leq \min(\text{rank}(A), \text{rank}(B))\]

Sylvester 下界：rank\((AB) \geq\) rank\((A) +\) rank\((B) - n\)

陷阱 3：AᵀA 可逆 ⟹ A 可逆？

錯！ \(A\) 可能非方陣。

正確：\(A^TA\) 可逆 \(\Leftrightarrow\) \(A\) 列滿秩（rank\((A) = n\)）

題目

基礎題（大二）

7.1 設 \(A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 4 & 2 \end{bmatrix}\)。求四個子空間及其維度。

解答

rank\((A) = 1\)（第二行是第一行的 2 倍）

Row\((A)\)：span\(\{(1, 2, 1)\}\)，\(\dim = 1\)

Null\((A)\)：\(x_1 + 2x_2 + x_3 = 0\)，基底 \(\{(-2,1,0), (-1,0,1)\}\)，\(\dim = 2\)

Col\((A)\)：span\(\{(1, 2)\}\)，\(\dim = 1\)

Null\((A^T)\)：\(y_1 + 2y_2 = 0\)，基底 \(\{(-2, 1)\}\)，\(\dim = 1\)

7.2 證明：Row\((A) \perp\) Null\((A)\)。

解答

設 \(\mathbf{x} \in\) Null\((A)\)，即 \(A\mathbf{x} = \mathbf{0}\)。

設 \(\mathbf{r}\) 是 \(A\) 的任一行向量。

\(A\mathbf{x} = \mathbf{0}\) 的第 \(i\) 個分量 = \(\mathbf{r}_i^T \mathbf{x} = 0\)

所以每個行向量都與 \(\mathbf{x}\) 正交。

Row\((A) =\) span\(\{\)行向量\(\}\)，故 Row\((A) \perp \mathbf{x}\)。\(\square\)

7.3 證明 \(\mathbb{R}^n = \text{Row}(A) \oplus \text{Null}(A)\)。

解答

交集只有零：設 \(\mathbf{v} \in\) Row\((A) \cap\) Null\((A)\)

\(\mathbf{v}\) 與自己正交（因為 Row\((A) \perp\) Null\((A)\)）

\(\langle \mathbf{v}, \mathbf{v} \rangle = 0 \Rightarrow \mathbf{v} = \mathbf{0}\)

維度相加等於 \(n\)：\(r + (n-r) = n\)

故 Row\((A) \oplus\) Null\((A) = \mathbb{R}^n\)。\(\square\)

進階題（大三/碩一）

7.4 證明 rank\((AB) \leq \min(\)rank\((A)\), rank\((B))\)。

解答

rank\((AB) \leq\) rank\((A)\)：Col\((AB) \subseteq\) Col\((A)\)

rank\((AB) \leq\) rank\((B)\)：Null\((B) \subseteq\) Null\((AB)\)

由秩-零度定理推得。\(\square\)

7.5 設 \(P\) 是投影矩陣（\(P^2 = P\)）。證明 Col\((P) =\) 特徵值 1 的特徵空間。

解答

設 \(\mathbf{v} \in\) Col\((P)\)，即 \(\mathbf{v} = P\mathbf{w}\)

\(P\mathbf{v} = P(P\mathbf{w}) = P^2\mathbf{w} = P\mathbf{w} = \mathbf{v}\)

所以 \(\mathbf{v}\) 是 \(\lambda = 1\) 的特徵向量。

反之，若 \(P\mathbf{v} = \mathbf{v}\)，則 \(\mathbf{v} = P\mathbf{v} \in\) Col\((P)\)。\(\square\)

7.6 證明：若 \(A\) 是 \(m \times n\)，\(B\) 是 \(n \times m\)，則 \(AB\) 和 \(BA\) 有相同的非零特徵值。

解答

設 \(\lambda \neq 0\) 是 \(AB\) 的特徵值，\(AB\mathbf{v} = \lambda\mathbf{v}\)，\(\mathbf{v} \neq \mathbf{0}\)。

令 \(\mathbf{w} = B\mathbf{v}\)。若 \(\mathbf{w} = \mathbf{0}\)，則 \(\lambda\mathbf{v} = AB\mathbf{v} = \mathbf{0}\)，矛盾。

所以 \(\mathbf{w} \neq \mathbf{0}\)，且 \(BA\mathbf{w} = BAB\mathbf{v} = B(AB\mathbf{v}) = \lambda B\mathbf{v} = \lambda\mathbf{w}\)。

故 \(\lambda\) 也是 \(BA\) 的特徵值。\(\square\)

7.7 設矩陣 \(A \in \mathbb{R}^{n \times m}\)，rank\((A) = r\)。解釋 \(n - r\) 和 \(m - r\) 的幾何意義。

解答
  • \(m - r = \dim(\text{Null}(A))\)：輸入空間中被映射到零的維度數
  • \(n - r = \dim(\text{Null}(A^T))\)：輸出空間中無法被映射到達的維度數

概念關聯

矩陣 A ∈ ℝⁿˣᵐ，rank = r
    │
    ├──→ ℝᵐ = Row(A) ⊕ Null(A)
    │           r     +   m-r
    │
    └──→ ℝⁿ = Col(A) ⊕ Null(Aᵀ)
                r     +   n-r

Row(A) ⊥ Null(A)
Col(A) ⊥ Null(Aᵀ)

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