Q9：對角化¶

考點：對角化條件、$A^k$ 計算、Jordan form、SVD

核心洞察¶

目標：找一組基底，使線性變換在該基底下的矩陣最簡單。

\[A = PDP^{-1} \Rightarrow A^k = PD^kP^{-1}\]

$P$ 的列 = 特徵向量（新基底）
$D$ 的對角線 = 特徵值

本質：對角化 = 找到 $n$ 個「各自為政」的縮放方向

邏輯鏈：

可對角化 ⟺ 有 n 個線性獨立的特徵向量
         ⟺ ∀λ: 幾何重數 = 代數重數
         ⟺ 最小多項式無重根

不可對角化 → 幾何重數 < 代數重數 → 缺失的維度去哪了？
         → 廣義特徵向量 → Jordan form

代數重數 vs 幾何重數¶

概念	定義	記號
代數重數	特徵多項式中 $(λ - λ_0)$ 的次數	$a_\lambda$
幾何重數	$\dim \ker(A - \lambda I)$	$g_\lambda$

關鍵不等式：$1 \leq g_\lambda \leq a_\lambda$

可對角化判準：$\forall \lambda: g_\lambda = a_\lambda$

題型分類¶

類型 1：Aᵏ 完整計算¶

計算 $A^{2024}$，$A = \begin{bmatrix} 5 & -6 \\ 3 & -4 \end{bmatrix}$

Step 1：特徵值

\[\text{tr}(A) = 1, \quad \det(A) = -20 + 18 = -2$$ $$\lambda^2 - \lambda - 2 = 0 \Rightarrow \lambda = 2, -1\]

Step 2：特徵向量

$\lambda = 2$：$(A - 2I)\mathbf{v} = \mathbf{0}$ $$\begin{bmatrix} 3 & -6 \\ 3 & -6 \end{bmatrix}\mathbf{v} = \mathbf{0} \Rightarrow \mathbf{v}_1 = \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix}$$

$\lambda = -1$：$(A + I)\mathbf{v} = \mathbf{0}$ $$\begin{bmatrix} 6 & -6 \\ 3 & -3 \end{bmatrix}\mathbf{v} = \mathbf{0} \Rightarrow \mathbf{v}_2 = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}$$

Step 3：組裝

\[P = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}, \quad D = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}\]

\[P^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}\]

Step 4：計算

\[A^{2024} = PD^{2024}P^{-1} = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2^{2024} & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}\]

展開： $$= \begin{bmatrix} 2^{2025} - 1 & -2^{2025} + 2 \\ 2^{2024} - 1 & -2^{2024} + 2 \end{bmatrix}$$

類型 2：帶參數對角化條件¶

$A = \begin{bmatrix} a & 1 \\ 0 & a \end{bmatrix}$，何時可對角化？

特徵值：$\lambda = a$（二重根）

幾何重數：$\dim \ker(A - aI) = \dim \ker\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} = 1$

代數重數 = 2，幾何重數 = 1 $\Rightarrow$ 不可對角化（除非矩陣本身就是對角的）

唯一例外：若 $A$ 本身就是純量矩陣 $aI$，則不需要對角化。

類型 3：冪零矩陣的冪次¶

$A^3 = O$，求 $A^{2024}$。

由 $A^3 = O$，對任意 $k \geq 3$：$A^k = A^3 \cdot A^{k-3} = O$

答案：$A^{2024} = O$

類型 4：不可對角化時的處理¶

方法 A：冪零分解

若 $A = \lambda I + N$，$N^m = O$：

\[(λI + N)^k = \sum_{j=0}^{m-1} \binom{k}{j} \lambda^{k-j} N^j\]

例：$A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} = 2I + N$，$N = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$，$N^2 = O$

\[A^k = 2^k I + k \cdot 2^{k-1} N = \begin{bmatrix} 2^k & k \cdot 2^{k-1} \\ 0 & 2^k \end{bmatrix}\]

方法 B：Jordan form（完整理論見 Challenge D）

陷阱¶

陷阱 1：n 個不同特徵值 ⟺ 可對角化？¶

單向成立：

$n$ 個不同特徵值 $\Rightarrow$ 可對角化 ✓
可對角化 $\not\Rightarrow$ $n$ 個不同特徵值 ✗

反例：$I$ 只有特徵值 1，但可對角化

陷阱 2：相同特徵多項式 ⟹ 相似？¶

錯！

\[A = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}\]

特徵多項式都是 $\lambda^2$，但 $A \neq O = B$，不相似。

判準：相似 $\Leftrightarrow$ 相同 Jordan form

陷阱 3：對稱必可對角化，反之？¶

$A^T = A \Rightarrow$ 可正交對角化（譜定理）✓
可對角化 $\not\Rightarrow$ 對稱 ✗

反例：$\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}$ 可對角化但不對稱

陷阱 4：P 的順序¶

$P = [\mathbf{v}_1 | \mathbf{v}_2 | \cdots]$，$D = \text{diag}(\lambda_1, \lambda_2, \cdots)$

特徵向量順序必須對應特徵值順序！

題目¶

基礎題（大二）¶

9.1 設 $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 2 \end{bmatrix}$，求 $A^{100}$。

解答

$\text{tr}(A) = 3$，$\det(A) = -4$

$\lambda^2 - 3\lambda - 4 = 0 \Rightarrow \lambda = 4, -1$

$\lambda = 4$：$\mathbf{v}_1 = \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix}$

$\lambda = -1$：$\mathbf{v}_2 = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix}$

\[P = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 3 & -1 \end{bmatrix}, \quad P^{-1} = \frac{1}{-5}\begin{bmatrix} -1 & -1 \\ -3 & 2 \end{bmatrix}\]

\[A^{100} = \frac{1}{5}\begin{bmatrix} 2 \cdot 4^{100} + 3 \cdot 1 & 2 \cdot 4^{100} - 2 \\ 3 \cdot 4^{100} - 3 & 3 \cdot 4^{100} + 2 \end{bmatrix}\]

化簡：$A^{100} = \frac{1}{5}\begin{bmatrix} 2 \cdot 4^{100} + 3 & 2 \cdot 4^{100} - 2 \\ 3 \cdot 4^{100} - 3 & 3 \cdot 4^{100} + 2 \end{bmatrix}$

9.2 判斷可對角化：$A = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix}$

解答

特徵值：$\lambda = 2$（代數重數 2），$\lambda = 3$（代數重數 1）

$\lambda = 2$ 的幾何重數： $$\ker(A - 2I) = \ker\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \text{span}\{(1, 0, 0)\}$$

幾何重數 = 1 < 代數重數 = 2

答案：不可對角化

9.3 設 $A^2 = A$。證明 $A$ 可對角化。

解答

特徵值滿足 $\lambda^2 = \lambda \Rightarrow \lambda \in \{0, 1\}$

最小多項式整除 $t^2 - t = t(t-1)$

因為 $t(t-1)$ 無重根，所以 $A$ 可對角化。$\square$

或用幾何重數：對每個 $\lambda$，檢驗幾何重數 = 代數重數。

進階題（大三/碩一）¶

9.4 設 $A$ 是 $n \times n$ 矩陣，$A^2 = I$。證明 $A$ 可對角化。

解答

$\lambda^2 = 1 \Rightarrow \lambda \in \{1, -1\}$

最小多項式整除 $t^2 - 1 = (t-1)(t+1)$，無重根。

故 $A$ 可對角化。$\square$

9.5 構造 $3 \times 3$ 矩陣，特徵值全為 0，但 $A \neq O$ 且 $A^2 \neq O$。

解答

取 Jordan block： $$A = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$$

$A \neq O$，$A^2 = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \neq O$，$A^3 = O$

9.6 設 $A, B$ 可對角化且 $AB = BA$。證明 $A, B$ 可同時對角化。

解答

核心：$AB = BA \Rightarrow B$ 保持 $A$ 的特徵空間

設 $E_\lambda$ 是 $A$ 的特徵空間。對 $\mathbf{v} \in E_\lambda$： $$A(B\mathbf{v}) = B(A\mathbf{v}) = B(\lambda\mathbf{v}) = \lambda(B\mathbf{v})$$

所以 $B\mathbf{v} \in E_\lambda$，即 $B$ 限制在 $E_\lambda$ 上。

因為 $B$ 可對角化，$B|_{E_\lambda}$ 也可對角化。

在每個 $E_\lambda$ 中選 $B$ 的特徵向量作基底，合併得同時對角化的基底。$\square$

9.7 證明：$A$ 可對角化 $\Leftrightarrow$ 最小多項式無重根。

解答

($\Rightarrow$)：$A = PDP^{-1}$，設 $D$ 有 $k$ 個不同對角元 $\lambda_1, \ldots, \lambda_k$。

則 $m_A(t) = (t - \lambda_1)(t - \lambda_2) \cdots (t - \lambda_k)$（各 $\lambda_i$ 至多一次）

($\Leftarrow$)：設 $m_A(t) = (t - \lambda_1) \cdots (t - \lambda_k)$，各不相同。

由 $m_A(A) = O$： $$\mathbb{R}^n = \ker(A - \lambda_1 I) \oplus \cdots \oplus \ker(A - \lambda_k I)$$

每個 $\ker(A - \lambda_i I)$ 是特徵空間，直和 = $\mathbb{R}^n$ 表示有 $n$ 個獨立特徵向量。$\square$

概念關聯¶

對角化 A = PDP⁻¹
    │
    ├──→ 條件：n 個獨立特徵向量 ⟺ ∀λ: g_λ = a_λ ⟺ 最小多項式無重根
    │
    ├──→ 應用：Aᵏ = PDᵏP⁻¹
    │
    ├──→ 特例：對稱矩陣 → 正交對角化 → PCA 的理論基礎
    │
    └──→ 失敗時：Jordan form（廣義特徵向量填補缺失維度）
              │
              └──→ 冪零分解：A = λI + N，用二項式展開

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概念	定義	記號
代數重數	特徵多項式中 \((λ - λ_0)\) 的次數	\(a_\lambda\)
幾何重數	\(\dim \ker(A - \lambda I)\)	\(g_\lambda\)