概念關係全景圖¶

線性代數核心：向量空間 → 線性變換 → 矩陣 → 特徵值 → 對角化。每個概念都是為了「簡化問題」。

核心邏輯鏈¶

向量空間(域F) ──→ 基底（最少向量張開空間）──→ 維度
    │
    └──→ 線性變換 T: V → W
              │
              ├──→ 由基底上的值完全決定 ──→ 矩陣表示
              │
              ├──→ ker(T) + Im(T) ──→ 秩-零度定理
              │           │
              │           └──→ 滿秩 ⟺ 可逆 ⟺ 雙射
              │
              └──→ 想找「只有縮放」的方向 ──→ 特徵值/特徵向量
                              │
                              ├──→ 代數重數 = 幾何重數 ⟺ 可對角化
                              │
                              └──→ 代數重數 > 幾何重數 ⟺ Jordan form

對角化的核心動機：

\[A = PDP^{-1} \Rightarrow A^k = PD^kP^{-1}\]

對角矩陣的 \(k\) 次方只是對角元素各自取 \(k\) 次方！

核心概念速查表¶

向量空間與子空間¶

| 概念 | 定義 | 判定條件 | |------|------|---------　| | 向量空間 | 滿足 8 個公理的集合 | 加法、純量乘法封閉 | | 子空間 | 向量空間的子集，本身也是向量空間 | ① \(\mathbf{0} \in W\) ② 加法封閉 ③ 純量乘法封閉 | | 線性獨立 | \(\sum c_i\mathbf{v}_i = \mathbf{0}\) 只有平凡解 | 無法互相線性組合 | | 基底 | 線性獨立 + 張成整個空間 | 最小張成集 / 最大獨立集 | | 維度 | 基底的元素個數 | 所有基底大小相同 |

內積與正交¶

| 概念 | 定義 | 關鍵性質 | |------|------|---------　| | 內積 | \(\langle \cdot, \cdot \rangle: V \times V \to \mathbb{R}\) | 對稱、線性、正定 | | 範數 | \(\|\mathbf{v}\| = \sqrt{\langle \mathbf{v}, \mathbf{v} \rangle}\) | \(\|\mathbf{v}\| \geq 0\) | | 正交 | \(\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle = 0\) | \(\mathbf{u} \perp \mathbf{v}\) | | 正交補 | \(W^\perp = \{\mathbf{v} : \mathbf{v} \perp W\}\) | \(\dim(W) + \dim(W^\perp) = \dim(V)\) | | 正規正交基 | 正交 + 單位長度 | \(\langle \mathbf{e}_i, \mathbf{e}_j \rangle = \delta_{ij}\) |

線性變換與矩陣¶

| 概念 | 定義 | 關鍵性質 | |------|------|---------　| | 線性變換 | \(T(\alpha\mathbf{u} + \beta\mathbf{v}) = \alpha T(\mathbf{u}) + \beta T(\mathbf{v})\) | 保持線性結構 | | 核 | \(\ker(T) = \{\mathbf{v} : T(\mathbf{v}) = \mathbf{0}\}\) | 是子空間 | | 像 | \(\text{Im}(T) = \{T(\mathbf{v})\}\) | 是子空間 | | 秩-零度定理 | \(\dim(\ker T) + \dim(\text{Im} T) = \dim(V)\) | 最重要的維度公式 | | 單射 | 不同輸入不同輸出 | \(\ker(T) = \{\mathbf{0}\}\) | | 滿射 | 所有輸出可達 | \(\text{Im}(T) = W\) |

矩陣代數¶

| 概念 | 定義/公式 | 關鍵性質 | |------|----------|---------　| | 行列式 | \(\det(A)\) | 體積縮放因子 | | 行列式乘法 | \(\det(AB) = \det(A)\det(B)\) | 乘法性 | | 可逆性 | \(\exists A^{-1}\) s.t. \(AA^{-1} = I\) | \(\det(A) \neq 0\) | | 秩 | \(\text{rank}(A) = \dim(\text{Col}(A))\) | 列秩 = 行秩 |

四個基本子空間¶

子空間	定義	所屬空間	維度
列空間 \(\text{Col}(A)\)	\(\{A\mathbf{x}\}\)	\(\mathbb{R}^m\)	\(r\)
行空間 \(\text{Row}(A)\)	\(\{A^T\mathbf{y}\}\)	\(\mathbb{R}^n\)	\(r\)
零空間 \(\text{Null}(A)\)	\(\{A\mathbf{x} = \mathbf{0}\}\)	\(\mathbb{R}^n\)	\(n-r\)
左零空間 \(\text{Null}(A^T)\)	\(\{A^T\mathbf{y} = \mathbf{0}\}\)	\(\mathbb{R}^m\)	\(m-r\)

正交關係：

\(\text{Row}(A) \perp \text{Null}(A)\)
\(\text{Col}(A) \perp \text{Null}(A^T)\)

特徵值與對角化¶

| 概念 | 定義/公式 | 關鍵性質 | |------|----------|---------　| | 特徵值 | \(A\mathbf{v} = \lambda\mathbf{v}\) | 縮放因子 | | 特徵多項式 | \(\det(A - \lambda I) = 0\) | 特徵值是根 | | 跡 | \(\text{tr}(A) = \sum a_{ii}\) | \(= \sum \lambda_i\) | | 對角化 | \(A = PDP^{-1}\) | 需要 \(n\) 個獨立特徵向量 | | 對稱矩陣 | \(A^T = A\) | 特徵值實數，可正交對角化 |

投影與最小平方¶

概念	公式	應用
正交投影	\(\text{proj}_W(\mathbf{q}) = A(A^TA)^{-1}A^T\mathbf{q}\)	找最近點
投影矩陣	\(P = A(A^TA)^{-1}A^T\)	\(P^2 = P\)，\(P^T = P\)
最小平方解	\(\hat{\mathbf{x}} = (A^TA)^{-1}A^T\mathbf{b}\)	\(A\mathbf{x} = \mathbf{b}\) 無解時
正規方程	\(A^TA\hat{\mathbf{x}} = A^T\mathbf{b}\)	最小平方的必要條件

問題→工具對應表¶

| 問題類型 | 需要的工具 | |---------|-----------　| | 「集合是子空間嗎？」 | 子空間三條件 | | 「向量組獨立嗎？」 | 線性獨立判定 | | 「維度是多少？」 | 基底 + 秩-零度定理 | | 「兩向量多相似？」 | 內積 / 餘弦相似度 | | 「變換會丟資訊嗎？」 | 核與像 | | 「矩陣可逆嗎？」 | 行列式 / 秩 | | 「方程有解嗎？」 | 秩判定 | | 「如何降維？」 | PCA / 特徵值分解 | | 「最接近的解？」 | 投影 / 最小平方 | | 「矩陣的 \(n\) 次方？」 | 對角化 |

常見題型分布參考¶

主題	重要程度	重點題型
向量空間/子空間	★★★	T/F、子空間證明
線性變換/矩陣	★★★★★	核與像、秩-零度
行列式	★★	計算、性質判斷
特徵值/對角化	★★★★★	計算、\(A^k\)、對角化判定
內積/正交	★★★	Gram-Schmidt、正交基
投影/最小平方	★★	投影矩陣、正規方程

T/F 快速檢查總表¶

敘述	答案	章節
任何平面都是子空間	❌	Q1
正交向量一定線性獨立	❌	挑戰 A
\(A^TA\) 可逆則 \(A\) 可逆	❌	挑戰 A
對稱矩陣特徵值都是實數	✅	Q5
所有矩陣都可對角化	❌	Q9
投影矩陣特徵值只有 0, 1	✅	Q10
\(\det(A+B) = \det(A) + \det(B)\)	❌	Q3
\(\det(cA) = c\det(A)\)	❌	Q3
nullity\((A) =\) nullity\((A^2)\)	❌	Q6
\((S^\perp)^\perp = S\)	❌	Q7
\(T\) 單射 \(\Leftrightarrow\) \(T\) 滿射（\(V \to V\)）	✅	Q6

學習建議¶

新手路線¶

Q1（向量空間）→ Q2（線性變換）→ Q3（行列式）→ Q4（逆矩陣）
        ↓
Q5（特徵值）→ Q6（核與像）→ Q7（四個子空間）
        ↓
Q8（內積）→ Q9（對角化）→ Q10（最小平方）
        ↓
挑戰 A → 挑戰 B → 挑戰 C → 挑戰 D → 挑戰 E

進階路線（已有基礎）¶

直接做挑戰 A 的陷阱題，測試概念理解
挑戰 B 的綜合題，訓練概念連結
挑戰 C 的速殺技，提升計算效率
挑戰 D 的證明模板，應對證明題
挑戰 E 的抽象空間，挑戰最高難度

考前衝刺¶

速查表背熟
陷阱題過一遍
計算技巧練手感
模擬計時做題

重要公式速查¶

特徵值相關¶

\[\text{tr}(A) = \sum_{i=1}^n \lambda_i, \quad \det(A) = \prod_{i=1}^n \lambda_i\]

\[\lambda^2 - \text{tr}(A)\lambda + \det(A) = 0 \quad (2 \times 2)\]

投影相關¶

\[P = A(A^TA)^{-1}A^T, \quad \hat{\mathbf{x}} = (A^TA)^{-1}A^T\mathbf{b}\]

行列式相關¶

\[\det(AB) = \det(A)\det(B), \quad \det(cA) = c^n\det(A), \quad \det(A^{-1}) = \frac{1}{\det(A)}\]

秩相關¶

\[\text{rank}(AB) \leq \min(\text{rank}(A), \text{rank}(B))\]

\[\text{rank}(A) = \text{rank}(A^T) = \text{rank}(A^TA) = \text{rank}(AA^T)\]