114 工程數學(D)¶

第 1 題（5%）¶

Let $A$ be an arbitrary $n \times n$ matrix over the field of real numbers $\mathcal{R}$, and let '$t$' denotes the transpose. Answer the following questions with "True" or "False".

(a) If $A$ is diagonalizable, then $A$ has $n$ distinct eigenvalues.

(b) If $A$ has $n$ distinct eigenvalues, then $A$ is diagonalizable.

(d) $\det A = \det \sqrt{A^t A}$, where 'det' denotes the determinant.

(e) If there exists an $n \times n$ matrix $B$ satisfying $AB = I_n$ (where $I_n$ denotes the $n \times n$ identity matrix), then $A$ is invertible.

(Getting 5 points if all answers are correct. Otherwise, 0 point.)

我的答案¶

A是一個n*n的矩陣，在實數域上。

(a)如果A是可對角化的，則他有n個不同的特徵值。F

因為把矩陣視為線性變換的一種表現形式，對角化的過程實際上是在對該線性變換作簡化。每個特徵值表達的是變換倍數，而特徵向量表達的是簡化後的方向。所以可以很直接的思考，雖然保證了可對角化，但是並沒有說不能在不同方向具備同一個縮放倍數。

批改：✅ 答案對，推理很好。經典反例：$I_n$ 可對角化但只有一個特徵值 1。

(b)如果A有n個不同的特徵值，則A是可對角化的。T

這點也非常有趣，這裡直接表明了他可以被切分成n個倍數。從我的思考邏輯上來說，這是對的，因為都已經確定可以被切分成這麼多個方向的不同倍數後，對角化跟切分是等價的。

批改：✅ 答案對。關鍵定理：不同特徵值的特徵向量線性獨立 → n 個獨立特徵向量 → 可對角化。

©A的null相等於A的k次方的null。F

這裡是顯然的錯誤，因為有一種矩陣我知道是可以把自己乘到0的，如果這個不夠具有說服力，那麼，從幾何角度思考依然可以獲得答案。我們假設有一個幾何操作是旋轉90度，並且縮小一倍。這裡繪製出的曲線會是一個螺旋最終指向原點。而原點的null是整個定義域空間，跟原本的顯然不同。

批改：✅ 答案對，但例子有問題。「旋轉+縮小」不會變成零矩陣（旋轉矩陣是正交的）。正確反例是冪零矩陣：$A = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\\\ 0 & 0 \end{bmatrix}$，nullity$(A)=1$，$A^2=O$，nullity$(A^2)=2$。

(d)A的行列式等同於A轉置乘上A後開根號的行列式。F

這確實考到我的點上了，我目前還沒有對行列式跟轉置做比較深度的思考，這題偏靠猜。不過思考一個極端情況，一個2*2的上三角矩陣，這個的行列式不是0。但是他的轉置乘上自己會是一個0矩陣。所以我覺得是錯。

批改：✅ 答案對，但推理錯誤。上三角矩陣的 $A^t A$ 不會是零矩陣。正確推理：$\det(A^t A) = (\det A)^2$，所以 $\det(\sqrt{A^t A}) = |\det A|$。當 $\det A < 0$ 時不相等。反例：$A = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\\\ 1 & 0 \end{bmatrix}$，$\det A = -1$ 但 $\det(\sqrt{A^t A}) = 1$。

(e)如果存在B矩陣使得，AB等於單位矩陣，則A矩陣式可逆的。T

我覺得應該是對的???也偏靠猜哈哈，也不知道怎麼分析。

批改：✅ 答案對。嚴格證明：$AB = I \Rightarrow \det(A)\det(B) = 1 \Rightarrow \det(A) \neq 0 \Rightarrow A$ 可逆。

第 1 題總結：5/5 全對！

第 2 題（5%）¶

Answer the following questions with "True" or "False".

(a) A nonzero subspace of $\mathcal{R}^n$ has a generating set.

(b) A nonzero subspace of $\mathcal{R}^n$ has a basis.

(d) A nonzero subspace of $\mathcal{R}^n$ has a unique basis.

(e) Suppose $S$ is a linearly independent set with size being equal the dimension of a nonzero subspace $\mathcal{V}$. Then, $S$ is a basis for $\mathcal{V}$.

(Getting 5 points if all answers are correct. Otherwise, 0 point.)

我的答案¶

(a)非零子空間有一個生成集。T

呃，其實我不太懂生成集是甚麼，但應該說的是span的那個?

批改：✅ 答案對。生成集（generating set）= 能 span 出整個子空間的向量集合。基底是生成集，子空間本身也是生成集。

(b)非零子空間有基底。T

廢話，當然有，子空間就是空間的完美繼承。該有都必須要有。

批改：✅ 答案對。這是向量空間的基本定理。

©非零子空間有一個獨特生成集。T

這下真要給我說一下甚麼是生成集了。

批改：❌ 答案錯，應該是 F。生成集不唯一！$\mathbb{R}^2$ 的生成集可以是 $\{(1,0), (0,1)\}$，也可以是 $\{(1,0), (0,1), (1,1)\}$，甚至整個 $\mathbb{R}^2$ 也是自己的生成集。

(d)非零子空間有獨特基底。F

這挺有意思，基底的唯一性，顯然是錯的，基底維度具備唯一性，但同等維度的基底集想怎麼寫就怎麼寫。诶?這裡我想到，基底有對倍數作約束嗎，比如說一定要向量單位長等於1。這我倒是沒思考過。我先假定沒有。

批改：✅ 答案對，推理也對。基底不唯一，但維度唯一。基底沒有單位長限制（那叫標準正交基）。

(e)S是線性獨立集，元素數量等於非零子空間的維度。S是該子空間的基底。F

思考一個簡單的幾何想法，假設今天是n維空間，我任意選擇兩維寫成線性獨立集。維度等於2，但是這等於XY平面的基底嗎，顯然概率非常小哈哈。

批改：✅ 答案對，反例很好！關鍵是題目沒說 $S \subseteq \mathcal{V}$。如果 $S$ 不在 $\mathcal{V}$ 裡面，當然不是 $\mathcal{V}$ 的基底。（但如果題目加上 $S \subseteq \mathcal{V}$，答案就是 T 了）

第 2 題總結：⅘ 答對，但全對才給分，所以 0 分。© 要記住：生成集不唯一！

第 3 題（5%）¶

Answer the following questions with "True" or "False".

(a) Let $U$ be a subset of a subspace $\mathcal{R}^n$. Let $U^\perp$ be the orthogonal complement of $U$. Then, $(U^\perp)^\perp = U$.

(b) $U^\perp$ is a subspace of $\mathcal{R}^n$.

(d) Let $T: \mathcal{R}^n \to \mathcal{R}^m$ be a linear transformation. Then, the null space of $T$ equals the $(\text{range } T)^\perp$, where range denotes the range space.

(e) If two vectors are orthogonal, they are linearly independent.

(Getting 5 points if all answers are correct. Otherwise, 0 point.)

我的答案¶

(a)令U是一個子空間的子集，U的正交補?則U的正交補的正交補就是U自己。F

我對於正交並沒有一個較為深入的概念，但是我以內積為零作為思考點。有意思的是正交只約束了角度的強制性，U顯然是不等於2U。我只要在正交回來的途徑加一個倍數就炸掉了。

批改：✅ 答案對，但推理不太對。關鍵是題目說 $U$ 是「子集」不是「子空間」。對子空間 $W$：$(W^\perp)^\perp = W$ 是對的。但對任意子集 $S$：$(S^\perp)^\perp = \text{span}(S)$，不一定等於 $S$。反例：$S = \{(1,0)\}$，$S^\perp = \{(0, y)\}$，$(S^\perp)^\perp = \{(x, 0)\} \neq S$。

(b)U的正交補是原集合的子集。T

這點我認為是對的，從幾何的角度概念上來看，我就是取了該空間中與U正交的方向向量。

批改：✅ 答案對。$U^\perp$ 是子空間：(1) 包含 $\mathbf{0}$；(2) 對加法封閉；(3) 對標量乘法封閉。

©U跟U的正交補內積是零。T

這是等價定義吧?

批改：❌ 答案錯，應該是 F。題目問的是「交集是否為空集」，不是「內積是否為零」。$U \cap U^\perp$ 至少包含零向量 $\mathbf{0}$（因為 $\mathbf{0}$ 與所有向量正交）。所以交集是 $\{\mathbf{0}\}$，不是空集 $\emptyset$。

(d)一個線性變換從$\mathcal{R}^n \to \mathcal{R}^m$。該線性變換的null等於該縣性變換的像的正交補。F

第一直覺是錯的，因為像跟核的概念並不與正交概念有相關。但是我需要思考一個更具說服力的說法。這裡有意思的是，他甚至把定義域跟對應域的維度拆開了，然後我記得核跟像的討論點一個是在定義域一個是在對應域?一般都是假設前後相等所以很多東西可以直接用，但是如果不相等，顯然很多東西就存在極大的操作空間使其不可用。

批改：✅ 答案對，推理也很好！關鍵就是維度問題：null$(T) \subseteq \mathbb{R}^n$，但 $(range\ T)^\perp \subseteq \mathbb{R}^m$。它們活在不同空間，當然不能相等。正確的關係是：null$(T) = (row\ space)^\perp$，而 $(range T)^\perp = $ 左零空間。

(e)如果兩個向量正交，則他們線性獨立。T

這倒是對的。這裡應該可以用反證法。假設兩個正交的向量是線性相依。也就是說A向量可以乘上某個倍數變成B向量。則邏輯上會變成A向量與某倍的A向量正交?這顯然是錯的。

批改：❌ 答案錯，應該是 F。你的反證法漏了一個關鍵情況：零向量！$\mathbf{0}$ 與任何向量正交（因為 $\langle \mathbf{0}, \mathbf{v} \rangle = 0$），但 $\{\mathbf{0}, \mathbf{v}\}$ 線性相依。正確敘述是：「兩個非零向量正交 ⟹ 線性獨立」。

第 3 題總結：⅗ 答對，但全對才給分，所以 0 分。

© 陷阱：「交集」vs「內積」，交集至少有 $\mathbf{0}$
(e) 陷阱：零向量與所有向量正交，但不獨立

第 4 題（5%）¶

Let $A$ be an $n \times n$ matrix over the field of real numbers $\mathcal{R}$ satisfying $A^2 + A = 0$.

Determine all possible values of the determinant of $A$ for any $n$, respectively.

我的答案¶

行列式等於體積縮放總量倍率。

這裡的式子很有意思，因為做兩次線性變換等於自己的負向操作。從幾何角度來看就是妥妥的旋轉，旋轉多少度是一個有意思的話題。轉兩次等於往反方向轉一次，這裡的度數應該是120度。而且不允許存在倍數的變換，因為倍數調整了都會讓兩次操作不等於一次操作。所以我的答案是1。

前面被零向量坑了一次，這裡不得不多思考一點，厲害了，這裡沒有說到A是非零的矩陣，也就是說A是零矩陣也符合這條式子，所以還有一個答案是0。

我的答案是0 and 1。

批改：⚠️ 部分正確

你的幾何直覺有創意，但推理有問題： - 「旋轉 120 度」的想法不對。$A^2 = -A$ 不等於「轉兩次等於反轉一次」 - 想到零矩陣很好！

正確解法：用特徵值

$A^2 + A = O$ 可以寫成 $A(A + I) = O$

設 $\lambda$ 是 $A$ 的特徵值，$\mathbf{v}$ 是對應的特徵向量：

\[(A^2 + A)\mathbf{v} = (\lambda^2 + \lambda)\mathbf{v} = \mathbf{0}\]

所以 $\lambda^2 + \lambda = 0 \Rightarrow \lambda(\lambda + 1) = 0 \Rightarrow \lambda \in \{0, -1\}$

行列式 = 特徵值乘積：

\[\det(A) = \prod_{i=1}^n \lambda_i, \quad \text{每個 } \lambda_i \in \{0, -1\}\]

可能的 det 值： - 若有任何特徵值是 0：$\det(A) = 0$ - 若所有特徵值都是 $-1$：$\det(A) = (-1)^n$

按 n 分類的完整答案：

n	可能的 det 值	例子
偶數	$\{0, 1\}$	$A = -I_2$：$\det = 1$
奇數	$\{0, -1\}$	$A = -I_3$：$\det = -1$

你漏了 $-1$ 這個特徵值！ 所以漏了奇數維時 $\det = -1$ 的情況。

給分：約 ⅗（想到 0 和部分正確的 1，但缺完整分析）

補充：為什麼旋轉直覺不適用？GPT 說是投影？¶

**標準投影矩陣**滿足 $P^2 = P$（冪等性）： - 意義：投影兩次 = 投影一次 - 特徵值：$\lambda^2 = \lambda \Rightarrow \lambda \in \{0, 1\}$

**Q4 的條件**是 $A^2 + A = O$，即 $A^2 = -A$。

關鍵觀察：令 $B = -A$，則：

\[B^2 = (-A)^2 = A^2 = -A = B\]

所以 $-A$ 是投影矩陣！

	$A$	$-A$
滿足條件	$A^2 = -A$	$(-A)^2 = -A$
特徵值	$\{0, -1\}$	$\{0, 1\}$
是投影？	否	是

這解釋了一切： - $A$ 的特徵值是 $\{0, -1\}$（就是我們用 $\lambda^2 + \lambda = 0$ 算出來的） - $-A$ 的特徵值是 $\{0, 1\}$（標準投影矩陣的特徵值）

為什麼旋轉直覺不適用？

旋轉矩陣的特徵值在複數單位圓上（$|\lambda| = 1$，形如 $e^{i\theta}$），而這題的特徵值只能是 0 或 -1，根本不是旋轉的特徵值結構。

你的 120° 旋轉思路出發點是「幾何」，但這題本質上是代數約束：多項式 $\lambda^2 + \lambda = 0$ 限制了特徵值只能取特定值。

第 5 題（5%）¶

Let

\[A = \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}.\]

Find a general form of $A^k$ for any integer $k$.

我的答案¶

（跳過，直接看解答）

解答¶

Step 1：求特徵值

用速算技巧： - $\text{tr}(A) = 2 + 2 = 4$ - $\det(A) = 2 \times 2 - (-1)(-1) = 4 - 1 = 3$

特徵多項式：$\lambda^2 - 4\lambda + 3 = 0$

解得：$\lambda = 1, 3$

Step 2：求特徵向量

$\lambda_1 = 1$：

$(A - I)\mathbf{v} = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix}\mathbf{v} = \mathbf{0} \Rightarrow \mathbf{v}_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}$

$\lambda_2 = 3$：

$(A - 3I)\mathbf{v} = \begin{bmatrix} -1 & -1 \\ -1 & -1 \end{bmatrix}\mathbf{v} = \mathbf{0} \Rightarrow \mathbf{v}_2 = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix}$

Step 3：組成 P 和 D

\[P = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}, \quad D = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 3 \end{bmatrix}\]

\[P^{-1} = \frac{1}{-2}\begin{bmatrix} -1 & -1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1/2 & 1/2 \\ 1/2 & -1/2 \end{bmatrix}\]

Step 4：求 $A^k$

\[A^k = PD^kP^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 3^k \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1/2 & 1/2 \\ 1/2 & -1/2 \end{bmatrix}\]

展開計算：

\[A^k = \frac{1}{2}\begin{bmatrix} 1 + 3^k & 1 - 3^k \\ 1 - 3^k & 1 + 3^k \end{bmatrix}\]

第 6 題（15%）¶

Consider a $2 \times 2$ matrix over the field of real numbers $\mathcal{R}$.

\[A = \begin{bmatrix} a & 1-b \\ 1-a & b \end{bmatrix}.\]

(a) (5%) Determine the eigenvalues of $A$.

(b) (5%) Determine a basis for each eigenspace of $A$.

我的答案¶

(a)

(b)

©

第 7 題（10%）¶

Let $A$ be an $n \times n$ matrix of the following form:

\[A = \begin{bmatrix} n+2 & n+2 & n+2 & \cdots & n+2 \\ 1 & 3 & 1 & \cdots & 1 \\ 1 & 1 & 3 & \cdots & 1 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & 1 & 1 & \cdots & 3 \end{bmatrix}.\]

Calculate $\det A$.

我的答案¶

第 8 題（25%）— 機率：抽卡遊戲¶

題目翻譯¶

一款抽卡遊戲推出新角色「Monty Hall」，需要收集 100 枚 Monty Hall 硬幣才能召喚。

基本規則：

每張抽獎券花費 10 顆綠寶石
每張抽獎券有 50% 機率獲得 1 枚硬幣，50% 機率什麼都沒有

(a) (3%) 計算召喚 Monty Hall 的平均花費（以綠寶石計）。

抽中跟沒抽中的邏輯本質就是服從柏努力定律，所以直接求期望值E(Sn)=np。最終想要100個，所以n要是200。因為p是0.5。而每一抽要10寶石，所以要兩千寶石。

2000寶石

批改：✅ 答案對。思路正確：需要 100 枚硬幣，每次 $p=0.5$ 機率中，期望抽 $100/0.5 = 200$ 次，每次 10 綠寶石，總計 2000 綠寶石。

(b) (4%) 為了避免玩家因運氣差而退坑，開發團隊開會決定：每累積 3 張「沒中」的抽獎券，就補發 1 枚硬幣。

計算新規則下，每枚硬幣的平均花費。

預期上每六次會得到4枚。乘上10。所以每個硬幣的平均花費是20/3

批改：❌ 答案錯，應該是 15 綠寶石/枚。思路「每六次得4枚」是對的：6 次中期望中 3 次（3 枚）+ 沒中 3 次補發 1 枚 = 4 枚。但計算錯了：6 次花 60 綠寶石，得 4 枚，每枚 $60/4 = 15$，不是 $20/3 \approx 6.67$。你可能把分子分母弄反了？

© (5%) 估算新規則下召喚 Monty Hall 的平均花費，四捨五入到整數。

（提示：召喚成功時，「沒中」的券數可能是 $3k+1$ 或 $3k+2$ 張，多出來的 1-2 張會被系統刪除。）

直接乘以100。所以應該是2000/3。大概是666

批改：❌ 答案錯，應該是 1500 綠寶石。這是基於 (b) 的連鎖錯誤。正確計算：$100 \times 15 = 1500$ 綠寶石。提示說結束時可能浪費 1-2 張沒中券，但這只會讓答案稍高於 1500，四捨五入後仍是 1500。

(d) (6%) 開發者 Simpson 認為新方案太大方——即使玩家沒有很挫折也會給硬幣。

例如：玩家抽 5 張得到「沒中、中、沒中、中、沒中」，第 5 張是第 3 張沒中的券，會補發硬幣。但第 4 張中了，玩家其實沒那麼挫折。

Simpson 的提案：只有「連續 3 張沒中」才補發硬幣。 - 「沒中、中、沒中、中、沒中」→ 不補發 - 「沒中、中、沒中、沒中、沒中」→ 第 5 張後補發（連續 3 張沒中） - 補發後計數器歸零：「沒中×6」會補發 2 枚（第 3 張後 1 枚、第 6 張後 1 枚）

計算 Simpson 方案下，每枚硬幣的平均花費。

原本是平均每六次能獲得4枚。現在是六次中有可能不會獲得四枚了。或是說抽六次現在只有四種情況會獲得四枚了。

批改：❌ 答案不完整，應該是 18.75 綠寶石/枚。

為什麼這題要用馬可夫鏈？

關鍵洞察：「連續」3 張沒中 ≠「總共」3 張沒中。

負二項式算的是「總共失敗幾次」，每次試驗獨立
但這題的「連續」約束讓**當前狀態影響未來**：一旦中了，連續計數器歸零

這種「狀態依賴」的結構，就是馬可夫鏈的典型應用場景。

馬可夫鏈解法

Step 1：定義狀態

用「目前已連續沒中幾次」來定義狀態：

狀態 0：剛開始，或剛中過（連續沒中 = 0）
狀態 1：已連續沒中 1 次
狀態 2：已連續沒中 2 次
狀態 3：已連續沒中 3 次 → 觸發保底，獲得硬幣！

Step 2：畫狀態轉移圖

Step 3：設期望等待時間

設 $E_i$ = 從狀態 $i$ 開始，獲得下一枚硬幣的期望抽獎次數。

Step 4：列遞推方程

從狀態 2：

抽 1 次（花 1 次機會）
中（機率 0.5）：得硬幣，結束
沒中（機率 0.5）：進入狀態 3，下一次保底得硬幣，再花 1 次

\[E_2 = 1 + 0.5 \times 0 + 0.5 \times 1 = 1.5\]

從狀態 1：

抽 1 次
中（0.5）：得硬幣，結束
沒中（0.5）：進入狀態 2，還需要 $E_2$ 次

\[E_1 = 1 + 0.5 \times 0 + 0.5 \times E_2 = 1 + 0.5 \times 1.5 = 1.75\]

從狀態 0（起點）：

抽 1 次
中（0.5）：得硬幣，結束
沒中（0.5）：進入狀態 1，還需要 $E_1$ 次

\[E_0 = 1 + 0.5 \times 0 + 0.5 \times E_1 = 1 + 0.5 \times 1.75 = 1.875\]

Step 5：計算答案

每枚硬幣期望抽 1.875 次，每次 10 綠寶石：

\[\text{每枚花費} = 10 \times 1.875 = \boxed{18.75} \text{ 綠寶石}\]

另一種思路：直接枚舉路徑

不用遞推，直接算「獲得一枚硬幣」的所有可能路徑：

獲得硬幣的方式	機率	花費（次數）
第 1 次就中	$0.5$	1
沒中 1 次，第 2 次中	$0.5 \times 0.5 = 0.25$	2
沒中 2 次，第 3 次中	$0.5^2 \times 0.5 = 0.125$	3
沒中 3 次，第 4 次保底	$0.5^3 = 0.125$	4
總計	1

\[E[\text{次數}] = 1 \times 0.5 + 2 \times 0.25 + 3 \times 0.125 + 4 \times 0.125 = 1.875\]

這跟馬可夫鏈的答案一致！

結論：Simpson 方案下每枚硬幣花費 18.75 綠寶石，比 (b) 的 15 更貴，因為「連續」比「累計」更難觸發保底。

(e) (7%) 工程師 Bertrand 搞錯了，沒有讓計數器歸零。

他的錯誤實作：「沒中×9」會給出 4 枚硬幣（第 3、4、5、6 張後各 1 枚，因為從第 3 張開始每張都是「前面連續 ≥3 張沒中」）。

估算 Bertrand 錯誤實作下召喚 Monty Hall 的平均花費，四捨五入到整數。

原文¶

A gacha game announces a new character, Monty Hall, who can be summoned by collecting 100 Monty Hall coins. To obtain Monty Hall coins, players buy lottery tickets for 10 emeralds each. (Emerald is the in-game currency.) Each ticket has a 50% chance of winning one Monty Hall coin, and a 50% chance of winning nothing.

(a) (3%) Compute the average cost, in emeralds, of summoning Monty Hall.

(b) (4%) To avoid players quitting the game due to bad luck, the game developers hold a meeting. They plan to give out one Monty Hall coin for every three losing tickets (a losing ticket is a lottery ticket that does not win any Monty Hall coin). Compute the new average cost, in emeralds, of each Monty Hall coin.

© (5%) Estimate the new average cost, in emeralds, of summoning Monty Hall. Round your answer to the nearest integer. (Hint: A player might have $3k + 1$ or $3k + 2$ losing ticket when Monty Hall is summoned. The extra one or two losing tickets will be deleted by the system.)

(d) (6%) One of the game developers, Simpson, believes that the new plan is too generous because it gives out Monty Hall coins even when players are not frustrated. For example, a player who buys five tickets may get the following outcomes: lose, win, lose, win, lose. Now, because the fifth ticket is the third losing ticket, the player would be given a coin. But the player may not feel frustrated because the fourth ticket is a win.

Simpson proposes to give out one Monty Hall coin for every three consecutive losing tickets. That is, lose, win, lose, win, lose will not be given extra coins. But lose, wins, lose, lose will be given one extra coin after the fifth ticket because it is the third losing ticket in a row. Note that, once the player is given a coin, the count of losing tickets resets. For example, lose, lose, lose, lose, lose, lose will be given two extra coins, one after the third ticket and the other after the sixth ticket.

Estimate the average cost, in emeralds, of each Monty Hall coin assuming Simpson's plan.

(e) (7%) Due to miscommunication, the programmer, Bertrand, implements Simpson's proposal incorrectly. Instead of resetting the counter when a coin is given, Bertrand's implementation gives out four Monty Hall coins for lose, lose, lose, lose, lose, lose, lose, lose, lose, one after the third ticket, one after the fourth ticket, one after the fifth ticket, and one after the sixth ticket.

Estimate the average cost, in emeralds, of summoning Monty Hall coin assuming Bertrand's incorrect implementation that does not reset the counter. Round your answer to the nearest integer.

我的答案¶

(a)

(b)

©

(d)

(e)

第 9 題（25%）— 機率：晶片良率¶

題目翻譯¶

Albert、Issac、Thomas 是全球三大晶片製造商。每顆晶片由數十億個電晶體組成。

基本設定：

每個電晶體獨立地有機率壞掉：$p_A$、$p_I$、$p_T$
好晶片 = 沒有任何壞電晶體的晶片
良率（yield） = 晶片是好的機率

(a) (3%) Issac 正在生產一款晶片：

80 億個電晶體（$8 \times 10^9$）
$p_I = 2.5 \times 10^{-11}$

估算 Issac 晶片的良率，取三位有效數字。

（提示：$e = 2.71828...$）

(b) (4%) Thomas 正在生產一款晶片：

50 億個電晶體
良率 90%

估算 $p_T$，取三位有效數字。

（提示：$\ln 2 = 0.69315$，$\ln 3 = 1.09861$，$\ln 5 = 1.60944$）

估算 $p_A$，取三位有效數字。

(d) (6%) 後來發現 Albert 其實設計了四核心，但只使用三個：

若 4 個核心都好 → 晶片算好，停用 1 個，賣三核心
若 3 好 1 壞 → 晶片算好，斷開壞的，賣三核心
若 ≤2 個好 → 晶片報廢

已知「四核心晶片有 ≥3 個好核心」的機率是 31.25%，估算 $p_A$，取三位有效數字。

(e) (7%) Albert 可以用多種方式生產「有三個好核心」的晶片：

設計 3 核心，希望全好
設計 4 核心，停用/斷開 1 個
設計 5 核心，停用/斷開 2 個
設計 6 核心，停用/斷開 3 個
...

假設唯一成本是電晶體的成本。哪種方案最划算？（即：每單位電晶體成本能產出最多「三好核心」晶片）

使用 (d) 估算的 $p_A$。

原文¶

Albert, Issac, and Thomas are the top three chip manufacturers in the world. Each of their chips is made of billions of transistors. Each transistor has an independent probability of being bad. The probability is denoted by $p_A$, $p_I$, and $p_T$ for Albert, Issac, and Thomas, respectively. A chip is considered good if it contains no bad transistors. The yield of a chip is the probability that a chip is good.

(a) (3%) Issac is producing a chip with 8 billion ($8 \cdot 10^9$) transistors with $p_I = 2.5 \cdot 10^{-11}$. Estimate the yield of Issac's chip to three significant digits. ($9 \cdot 10^{-1}$ has one significant digit, $9.9 \cdot 10^{-1}$ has two significant digits, and $9.99 \cdot 10^{-1}$ has three significant digits. Euler's number is $e = 1/0! + 1/1! + 1/2! + 1/3! + \ldots = 2.71828\ldots$)

(b) (4%) Thomas is producing a chip with 5 billion transistors and a yield of 90%. Estimate $p_T$ to three significant digits. ($\ln(2) = 0.69315$, $\ln(3) = 1.09861$, $\ln(5) = 1.60944$.)

(d) (6%) It is later revealed that Albert designs the chip to have four cores but only use three. Here is a breakdown of the manufacturing process:

If all four cores are good, the chip is considered good. One core is disabled and the chip is sold as a three-core chip.
If three cores are good and the other core contains bad transistors, the chip is still considered good. The bad core is disconnected and the chip is sold as a three-core chip.
If two or fewer cores are good, the chip is considered bad and discarded.

Given the new information that 31.25% is the probability that a four-core chip has three or more good cores, estimate $p_A$ to three significant digits.

(e) (7%) There are many ways Albert can produce chips with three good cores:

Design a three-core chip and hope that all three cores are good.
Design a four-core chip and disable/disconnect one core.
Design a five-core chip and disable/disconnect two cores.
Design a six-core chip and disable/disconnect three cores.
...

Suppose that the only cost in chip manufacturing is the cost of transistors. Which option is the most cost-effective for Albert to produce chips with three good cores? That is, which produces the largest amount of three-good-core chips per transistor cost? Assume the $p_A$ you estimated in part (d).

我的答案¶

(a)

(b)

©

(d)

(e)

	\(A\)	\(-A\)
滿足條件	\(A^2 = -A\)	\((-A)^2 = -A\)
特徵值	\(\{0, -1\}\)	\(\{0, 1\}\)
是投影？	否	是

n	可能的 det 值	例子
偶數	\(\{0, 1\}\)	\(A = -I_2\)：\(\det = 1\)
奇數	\(\{0, -1\}\)	\(A = -I_3\)：\(\det = -1\)

獲得硬幣的方式	機率	花費（次數）
第 1 次就中	\(0.5\)	1
沒中 1 次，第 2 次中	\(0.5 \times 0.5 = 0.25\)	2
沒中 2 次，第 3 次中	\(0.5^2 \times 0.5 = 0.125\)	3
沒中 3 次，第 4 次保底	\(0.5^3 = 0.125\)	4
總計	1