行列式 (Determinant)¶

定義與性質¶

項目	公式/說明
定義（遞迴）	沿任一列或行展開：$\det(A) = \sum_{j} a_{ij} C_{ij}$
$2 \times 2$ 矩陣	$\det\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} = ad - bc$
三角矩陣	$\det(A) = \prod_{i} a_{ii}$（對角線乘積）
$\det(AB)$	$\det(A) \cdot \det(B)$
$\det(A^T)$	$\det(A)$
$\det(A^{-1})$	$1/\det(A)$
$\det(cA)$	$c^n \det(A)$（$n$ 是矩陣大小）

故事理解：行列式代表「體積的縮放倍數」。$2 \times 2$ 矩陣的行列式是平行四邊形的面積，$3 \times 3$ 是平行六面體的體積。如果行列式是 0，表示空間被「壓扁」了。

判斷以下敘述的真偽： ⭐ 109年 Q5 風格

(a) 行列式性質判斷

設 $A, B$ 是 $n \times n$ 矩陣。 ⭐ 109年 Q5 風格

(b) 行列式運算

判斷以下敘述的真偽：

計算以下行列式： ⭐ 計算題

$\det\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix}$
$\det\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 4 & 9 & 16 \\ 1 & 8 & 27 & 64 \end{bmatrix}$（Vandermonde 行列式）
$\det\begin{bmatrix} a+b & a & a \\ a & a+b & a \\ a & a & a+b \end{bmatrix}$

設 $A$ 是 $n \times n$ 矩陣。 ⭐ 113年風格

(d) 行列式與可逆性

設 $A$ 是 $n \times n$ 矩陣，$\lambda$ 是 $A$ 的特徵值。

(e) 行列式與特徵值

證明 $\det(A) = \prod_{i=1}^{n} \lambda_i$
證明 $\text{tr}(A) = \sum_{i=1}^{n} \lambda_i$
利用上述結果：若 $A$ 是 $3 \times 3$ 矩陣，$\text{tr}(A) = 6$，$\det(A) = -4$，且已知兩個特徵值為 $2$ 和 $-1$，求第三個特徵值

Cramer 法則。

(f) 線性方程組的解

設 $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$，其中 $A$ 是 $n \times n$ 可逆矩陣。

分塊矩陣的行列式。

(g) 特殊結構

若 $M = \begin{bmatrix} A & B \\ 0 & D \end{bmatrix}$（上三角分塊），證明 $\det(M) = \det(A) \cdot \det(D)$
若 $M = \begin{bmatrix} A & B \\ C & D \end{bmatrix}$ 且 $A$ 可逆，證明 $\det(M) = \det(A) \cdot \det(D - CA^{-1}B)$（Schur 補）

項目	公式/說明
定義（遞迴）	沿任一列或行展開：\(\det(A) = \sum_{j} a_{ij} C_{ij}\)
\(2 \times 2\) 矩陣	\(\det\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} = ad - bc\)
三角矩陣	\(\det(A) = \prod_{i} a_{ii}\)（對角線乘積）
\(\det(AB)\)	\(\det(A) \cdot \det(B)\)
\(\det(A^T)\)	\(\det(A)\)
\(\det(A^{-1})\)	\(1/\det(A)\)
\(\det(cA)\)	\(c^n \det(A)\)（\(n\) 是矩陣大小）