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特徵值與特徵向量 (Eigenvalues & Eigenvectors)

定義與性質

項目 公式/說明
特徵值定義 \(A\mathbf{v} = \lambda\mathbf{v}\)，\(\mathbf{v} \neq \mathbf{0}\)
特徵多項式 \(p(\lambda) = \det(A - \lambda I)\)
跡 (Trace) \(\text{tr}(A) = \sum_{i} a_{ii} = \sum_{i} \lambda_i\)
行列式與特徵值 \(\det(A) = \prod_{i} \lambda_i\)
對角化條件 \(A\) 有 \(n\) 個線性獨立的特徵向量
相似矩陣 \(B = P^{-1}AP\)，\(A\) 與 \(B\) 有相同特徵值

故事理解：特徵向量是被矩陣「拉伸」但不改變方向的向量，特徵值就是拉伸的倍數。如果 \(\lambda = 2\)，表示這個方向被拉長 2 倍；\(\lambda = -1\) 表示方向反轉且長度不變。

進階思考題

已知矩陣 \(A = \begin{bmatrix} 51 & -12 & -21 \\ 60 & -40 & -28 \\ 57 & -68 & 1 \end{bmatrix}\) 的特徵值為 \(-48\) 和 \(24\)。 ⭐ 113年 Q8 風格

(a) 利用跡求特徵值

  1. 計算 \(\text{tr}(A)\)
  2. 利用 \(\text{tr}(A) = \lambda_1 + \lambda_2 + \lambda_3\)，求第三個特徵值 \(\lambda_3\)

(b) 利用行列式驗證

  1. 計算 \(\det(A)\)（可用列運算簡化）
  2. 驗證 \(\det(A) = \lambda_1 \cdot \lambda_2 \cdot \lambda_3\)

令 \(A = \begin{bmatrix} 3 & 1 & -1 \\ 1 & 3 & -1 \\ -1 & -1 & 3 \end{bmatrix}\)。 ⭐ 112年 Q4(a) 風格

© 特徵值計算

  1. 求 \(A\) 的特徵多項式 \(\det(A - \lambda I)\)
  2. 求所有特徵值（含重數）
  3. 對於每個特徵值，求對應的特徵向量

考慮循環矩陣 \(B = \begin{bmatrix} a & b & b & \cdots & b \\ b & a & b & \cdots & b \\ b & b & a & \cdots & b \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ b & b & b & \cdots & a \end{bmatrix}_{n \times n}\)，其中 \(a > 0\)，\(b > 0\)。 ⭐ 112年 Q4(b) 風格

(d) 特殊結構矩陣的特徵值

  1. 證明 \(\mathbf{v}_1 = [1, 1, \ldots, 1]^T\) 是 \(B\) 的特徵向量，並求對應的特徵值
  2. 找出其餘 \(n-1\) 個特徵值（提示：考慮與 \(\mathbf{v}_1\) 正交的向量）
  3. 寫出所有特徵值（含重數）

設 \(A\) 是 \(n \times n\) 矩陣。 ⭐ 113年 Q9 風格

(e) 矩陣冪次計算

令 \(A = \begin{bmatrix} 110 & 55 & -164 \\ 42 & 21 & -62 \\ 88 & 44 & -131 \end{bmatrix}\)。

  1. 求 \(A\) 的特徵值
  2. 判斷 \(A\) 是否可對角化
  3. 計算 \(A^{2024}\)

（提示：若 \(A = PDP^{-1}\)，則 \(A^k = PD^kP^{-1}\)）

判斷以下敘述的真偽： ⭐ 109年 Q7 風格

(f) 特徵值性質判斷

  1. (T/F) 若 \(A\) 是實對稱矩陣，則 \(A\) 的特徵值都是實數
  2. (T/F) 若 \(A\) 是實對稱矩陣，則 \(A\) 可正交對角化
  3. (T/F) 若 \(\lambda\) 是 \(A\) 的特徵值，則 \(\lambda^2\) 是 \(A^2\) 的特徵值
  4. (T/F) 若 \(\lambda\) 是 \(A\) 的特徵值且 \(A\) 可逆，則 \(1/\lambda\) 是 \(A^{-1}\) 的特徵值
  5. (T/F) 相似矩陣有相同的特徵向量
  6. (T/F) 若 \(A\) 和 \(B\) 有相同的特徵值（含重數），則 \(A\) 與 \(B\) 相似

設 \(A\) 是 \(n \times n\) 實矩陣，\(\lambda\) 是 \(A\) 的特徵值，\(\mathbf{v}\) 是對應的特徵向量。

(g) 特徵值的應用

  1. 若 \(A\) 是冪等矩陣（\(A^2 = A\)），證明 \(\lambda\) 只能是 \(0\) 或 \(1\)
  2. 若 \(A\) 是正交矩陣（\(A^TA = I\)），證明 \(|\lambda| = 1\)
  3. 若 \(A\) 是反對稱矩陣（\(A^T = -A\)），證明 \(\lambda\) 是純虛數或零