跳轉到

線性變換 (Linear Transformation)

定義與性質

項目 定義/說明
線性變換 \(T(\mathbf{u} + \mathbf{v}) = T(\mathbf{u}) + T(\mathbf{v})\)，\(T(c\mathbf{u}) = cT(\mathbf{u})\)
核 (Kernel) \(\ker(T) = \{\mathbf{v} : T(\mathbf{v}) = \mathbf{0}\}\)
像 (Image) \(\text{Im}(T) = \{T(\mathbf{v}) : \mathbf{v} \in V\}\)
秩-零度定理 \(\dim(\ker T) + \dim(\text{Im} T) = \dim(V)\)
單射條件 \(\ker(T) = \{\mathbf{0}\}\)
滿射條件 \(\text{Im}(T) = W\)（到達空間）

故事理解：線性變換就像一台「保持線性結構」的機器。輸入兩個向量的和，輸出也是各自輸出的和。旋轉、投影、拉伸都是線性變換，但平移不是（因為 \(T(\mathbf{0}) \neq \mathbf{0}\)）。

進階思考題

判斷以下函數是否為線性變換： ⭐ 109年 Q3、Q8 風格

(a) 線性變換判斷

  1. \(T: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\)，\(T(x) = 4x + 3\)
  2. \(T: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2\)，\(T(\mathbf{x}) = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}\)（對所有 \(\mathbf{x}\)）
  3. \(T: \mathcal{P} \to \mathcal{P}\)，\(T(f(x)) = f(x)(x^2 + 1)\)，其中 \(\mathcal{P}\) 是多項式空間
  4. \(T: C^\infty(\mathbb{R}) \to C^\infty(\mathbb{R})\)，\(T(f(x)) = f'(x) + f(x)\)，其中 \(C^\infty\) 是無限可微函數空間

設 \(T: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m\) 是線性變換，\(A\) 是其標準矩陣（即 \(T(\mathbf{x}) = A\mathbf{x}\)）。 ⭐ 109年 Q4 風格

(b) 單射與滿射

判斷以下敘述的真偽：

  1. (T/F) \(T\) 是單射 ⟺ \(A\) 的列向量線性獨立
  2. (T/F) \(T\) 是滿射 ⟺ \(A\) 的列向量張成 \(\mathbb{R}^m\)
  3. (T/F) 若 \(T\) 是單射且 \(m = n\)，則 \(T\) 是滿射
  4. (T/F) 若 \(T\) 是單射，則 \(m \geq n\)
  5. (T/F) 若 \(T\) 是滿射，則 \(m \leq n\)

設 \(T: \mathbb{R}^3\) 上的線性算子滿足：

\[T\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix}, \quad T\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad T\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}\]

⭐ 109年 Q3 風格

© 求線性變換

  1. 求 \(T\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\)
  2. 求 \(T\left(T\left(T\left(T\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}\right)\right)\right)\)

（提示：先將 \([0,0,1]^T\) 表示為已知向量的線性組合）

設 \(V\) 是 \(n\) 維向量空間，\(T: V \to V\) 是線性算子。 ⭐ 110年 Q1(h) 風格

(d) 線性算子的性質

  1. (T/F) 若 \(T: \mathbb{R}^{99} \to \mathbb{R}^{100}\) 是線性變換，則存在不同的 \(\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2 \in \mathbb{R}^{99}\) 使得 \(T(\mathbf{v}_1) = T(\mathbf{v}_2)\)
  2. (T/F) 若 \(T: \mathbb{R}^{100} \to \mathbb{R}^{99}\) 是線性變換，則存在非零 \(\mathbf{v}\) 使得 \(T(\mathbf{v}) = \mathbf{0}\)

設 \(V\) 是所有 \(2 \times 2\) 對稱矩陣構成的向量空間，\(B = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix}\)。定義 \(T: V \to V\) 為 \(T(A) = B^TAB\)。 ⭐ 112年 Q2 風格

(e) 對稱矩陣上的線性變換

  1. 求 \(V\) 的一組基底
  2. 求 \(V\) 的維度
  3. 求 \(T\) 的特徵值

複合線性變換。 ⭐ 110年 Q1(d) 風格

(f) 複合與逆

設 \(U: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m\) 和 \(T: \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^p\) 是線性變換。

  1. (T/F) 若 \(m = p\)，則 \(TU\) 與 \(UT\) 都有定義
  2. (T/F) 複合 \(T \circ U\) 也是線性變換
  3. (T/F) 若 \(T\) 和 \(U\) 都可逆，則 \((TU)^{-1} = U^{-1}T^{-1}\)