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矩陣運算與可逆性 (Matrix Operations & Invertibility)

定義與性質

項目 公式/說明
可逆條件 \(\det(A) \neq 0\) ⟺ \(\text{rank}(A) = n\) ⟺ 列向量線性獨立
逆矩陣公式 \(A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \text{adj}(A)\)（伴隨矩陣法）
\((AB)^{-1}\) \(B^{-1}A^{-1}\)
\((A^T)^{-1}\) \((A^{-1})^T\)
分塊矩陣逆 特殊結構可利用分塊求逆

故事理解：矩陣可逆就像「可以撤銷的操作」。如果一個變換把 3D 空間壓扁成 2D 平面（行列式為 0），就無法「撤銷」回到原來的 3D——這就是不可逆。

進階思考題

設 \(\omega = e^{2\pi i/n}\) 是 \(n\) 次單位根，考慮 Vandermonde 矩陣：

\[B = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & \cdots & 1 \\ 1 & \omega & \omega^2 & \cdots & \omega^{n-1} \\ 1 & \omega^2 & \omega^4 & \cdots & \omega^{2(n-1)} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & \omega^{n-1} & \omega^{2(n-1)} & \cdots & \omega^{(n-1)(n-1)} \end{bmatrix}\]

⭐ 112年 Q2(b) 風格

(a) 單位根性質

  1. 證明 \(\omega^n = 1\)
  2. 證明 \(1 + \omega + \omega^2 + \cdots + \omega^{n-1} = 0\)

(b) 逆矩陣求解

  1. 計算 \(B^{-1}\)（以最簡形式表示）
  2. 驗證 \(BB^{-1} = I\)

（提示：利用單位根的正交性）

設 \(A\) 是 \(n \times n\) 非奇異矩陣，滿足 \(A^3 - 4A^2 + 3A - 5I_n = \mathbf{0}\)。 ⭐ 112年 Q2(a) 風格

© 多項式求逆矩陣

  1. 將方程改寫為 \(A(A^2 - 4A + 3I) = 5I\)
  2. 用 \(A\) 的多項式表示 \(A^{-1}\)

判斷以下敘述的真偽： ⭐ 109年 Q2 風格

(d) 可逆性判斷

令 \(A, B\) 為 \(n \times n\) 矩陣。

  1. (T/F) 若 \(AB = I_n\)，則 \(A\) 可逆且 \(A^{-1} = B\)
  2. (T/F) 若 \(AB = I_n\)，則 \(BA = I_n\)
  3. (T/F) 若 \(A\) 可逆且 \(B\) 奇異，則 \(A + B\) 一定奇異
  4. (T/F) 若 \(A\) 可逆且 \(B\) 奇異，則 \(AB\) 奇異
  5. (T/F) 若 \(A^2 = \mathbf{0}\)（冪零矩陣），則 \(I - A\) 可逆

設 \(A\) 是 \(m \times n\) 矩陣，\(\mathbf{b} \in \mathbb{R}^m\)。 ⭐ 110年 Q1 風格

(e) 矩陣方程的解

判斷以下敘述的真偽：

  1. (T/F) \(A\mathbf{x} = \mathbf{b}\) 有解，當且僅當 \(\mathbf{b}\) 在 \(A\) 的行空間中
  2. (T/F) 若 \(A\) 的每一列都有樞紐位置，則 \(A\mathbf{x} = \mathbf{b}\) 對所有 \(\mathbf{b}\) 有解
  3. (T/F) 若 \(n = 3\)，\(m = 5\)，則 \(A\mathbf{x} = \mathbf{b}\) 不一定有解
  4. (T/F) \(A\mathbf{x} = \mathbf{b}\) 的解唯一，當且僅當 \(\text{Null}(A) = \{\mathbf{0}\}\)

設 \(A = \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}\)，\(B = \begin{bmatrix} x \\ 0 \end{bmatrix}\)。若 \(A\) 的零空間是 \(\text{span}\left\{\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}\right\}\)。 ⭐ 113年 Q5(e) 風格

(f) 零空間與解空間

  1. 說明 \(A\) 的形式
  2. 判斷 \(B\) 的零空間

設 \(A_1, A_2\) 是 \(m \times n\) 矩陣。若 \(A_1\mathbf{x} = \mathbf{b}_1\) 和 \(A_2\mathbf{x} = \mathbf{b}_2\) 都有解。 ⭐ 110年 Q1(d) 風格

(g) 聯立方程組

  1. (T/F) \(\begin{bmatrix} A_1 \\ A_2 \end{bmatrix}\mathbf{x} = \begin{bmatrix} \mathbf{b}_1 \\ \mathbf{b}_2 \end{bmatrix}\) 一定有解
  2. 給出反例（若為假）或證明（若為真）