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秩與維度 (Rank & Dimension)

定義與性質

項目 定義/說明
秩 (Rank) \(\text{rank}(A)\) = 列空間的維度 = 行空間的維度 = 樞紐位置數
零度 (Nullity) \(\text{nullity}(A) = \dim(\text{Null}(A))\) = 自由變數個數
秩-零度定理 \(\text{rank}(A) + \text{nullity}(A) = n\)（列數）
列空間 \(\text{Col}(A)\) = \(A\) 的列向量張成的空間
行空間 \(\text{Row}(A)\) = \(A\) 的行向量張成的空間
零空間 \(\text{Null}(A) = \{\mathbf{x} : A\mathbf{x} = \mathbf{0}\}\)

故事理解：秩代表矩陣「真正有多少維度的資訊」。一個 \(3 \times 3\) 矩陣如果秩是 2，就像把 3D 空間壓扁成 2D 平面——損失了一個維度的資訊。

進階思考題

設 \(A\) 是 \(m \times n\) 矩陣，\(\text{rank}(A) = r\)。 ⭐ 113年 Q5-Q7 風格

(a) 秩的基本性質

判斷以下敘述的真偽：

  1. (T/F) \(A\) 有 \(r\) 個線性獨立的列向量
  2. (T/F) \(A\) 有 \(r\) 個線性獨立的行向量
  3. (T/F) \(\dim(\text{Col}(A)) = \dim(\text{Row}(A)) = r\)
  4. (T/F) \(\text{Null}(A)\) 的維度是 \(n - r\)
  5. (T/F) \(\text{Null}(A^T)\) 的維度是 \(m - r\)

設 \(A\) 是 \(m \times n\) 矩陣，\(B\) 是 \(n \times p\) 矩陣。 ⭐ 113年 Q7 風格

(b) 矩陣乘積的秩

判斷以下敘述的真偽：

  1. (T/F) \(\text{rank}(AB) \leq \min(\text{rank}(A), \text{rank}(B))\)
  2. (T/F) \(\text{rank}(AB) = \text{rank}(A)\) 若 \(B\) 可逆
  3. (T/F) \(\text{rank}(AB) = \text{rank}(B)\) 若 \(A\) 可逆
  4. (T/F) \(\text{rank}(A^TA) = \text{rank}(A)\)
  5. (T/F) \(\text{rank}(AA^T) = \text{rank}(A)\)

設 \(A = \mathbf{u}\mathbf{v}^T + \mathbf{w}\mathbf{z}^T\)，其中 \(\mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w}, \mathbf{z}\) 是 \(n \times 1\) 向量。 ⭐ 113年 Q7 風格

© 秩一矩陣的和

  1. 證明秩一矩陣 \(\mathbf{u}\mathbf{v}^T\) 的列空間是 \(\text{span}\{\mathbf{u}\}\)
  2. 證明 \(\text{rank}(A) \leq 2\)
  3. 何時 \(\text{rank}(A) < 2\)？
  4. 若 \(\mathbf{u} = \mathbf{z} = [1, 0, 0]^T\)，\(\mathbf{v} = \mathbf{w} = [0, 0, 1]^T\)，求 \(\text{rank}(A)\)

設 \(A\) 是 \(5 \times 3\) 矩陣且 \(\text{rank}(A) = 2\)。 ⭐ 112年 Q3 風格

(d) 四個基本子空間

  1. \(\dim(\text{Col}(A)) = ?\)
  2. \(\dim(\text{Row}(A)) = ?\)
  3. \(\dim(\text{Null}(A)) = ?\)
  4. \(\dim(\text{Null}(A^T)) = ?\)
  5. 描述這四個子空間之間的正交關係

設 \(A\) 是 \(n \times n\) 矩陣。 ⭐ 113年 Q6 風格

(e) 秩與解的關係

  1. (T/F) 若 \(\text{rank}(A) = n\)，則 \(A\mathbf{x} = \mathbf{b}\) 對任意 \(\mathbf{b}\) 都有唯一解
  2. (T/F) 若 \(\text{rank}(A) < n\)，則 \(A\mathbf{x} = \mathbf{0}\) 有非零解
  3. (T/F) 若 \(\text{rank}([A | \mathbf{b}]) > \text{rank}(A)\)，則 \(A\mathbf{x} = \mathbf{b}\) 無解

填空題。 ⭐ 113年 Q6 風格

(f) 秩的計算

  1. \(A^Ty = \mathbf{b}\) 有解當 \(\mathbf{b}\) 屬於 \(A\) 的哪個子空間？___
  2. 若 \(A\) 是 \(5 \times 3\) 矩陣，則 \(\text{rank}(A) \leq\) ___
  3. 若 \(A\) 的秩為 \(r\)，則 \(A\) 至少有 ___ 個非零的奇異值
  4. 若 \(\ker(A)\) 的維度是 1 且 \(A\) 是 \(5 \times 3\) 矩陣，則 \(\text{rank}(A) =\) ___