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向量空間與基底 (Vector Space & Basis)

定義與性質

項目 定義/說明
向量空間 滿足加法封閉、純量乘法封閉、及八條公理的集合
子空間 向量空間的非空子集，本身也是向量空間
線性獨立 \(c_1\mathbf{v}_1 + \cdots + c_k\mathbf{v}_k = \mathbf{0}\) 只有零解
張成 (Span) \(\text{Span}\{\mathbf{v}_1, \ldots, \mathbf{v}_k\}\) = 所有線性組合的集合
基底 (Basis) 線性獨立且張成整個空間的向量組
維度 (Dimension) 基底的向量個數，記為 \(\dim(V)\)

故事理解：想像你在 3D 空間中，三個不共面的向量（如 \(\mathbf{i}, \mathbf{j}, \mathbf{k}\)）可以「組合」出任何位置，這就是一組基底。如果其中一個向量可以被另外兩個表示，那就「多餘」了——這就是線性相關。

進階思考題

考慮在 \(\mathbb{Z}_2\)（二元體）上的向量空間 \(\mathbb{Z}_2^n\)，其中 \(\mathbb{Z}_2 = \{0, 1\}\)，加法和乘法都是 mod 2 運算。 ⭐ 112年 Q1 風格

(a) 基本運算

在 \(\mathbb{Z}_2^3\) 中： - \(101 + 001 = ?\)（按位 XOR） - \(101 \cdot 1 = ?\)，\(101 \cdot 0 = ?\)

  1. 計算以上結果
  2. 說明為什麼 \(\mathbb{Z}_2^n\) 是一個向量空間

(b) 維度計算

  1. \(\mathbb{Z}_2^n\) 作為 \(\mathbb{Z}_2\) 上的向量空間，其維度是多少？
  2. 給出 \(\mathbb{Z}_2^n\) 的一組標準基底

© 線性獨立性判斷 ⭐ 113年 Q4 風格

判斷以下 \(\mathbb{R}^3\) 中的向量組是否線性獨立：

  1. \(\{[1,3,2], [2,1,3], [3,2,1]\}\)
  2. \(\{[1,-3,2], [2,1,-3], [-3,2,1]\}\)

（提示：計算行列式或列簡化）

令 \(A\) 為 \(m \times n\) 矩陣，其列向量為 \(\mathbf{a}_1, \ldots, \mathbf{a}_n \in \mathbb{R}^m\)。 ⭐ 113年 Q5 風格

(d) 行空間與列空間

判斷以下敘述的真偽：

  1. (T/F) 若列向量線性獨立，則 \(\text{rank}(A) = n\)
  2. (T/F) 若列向量張成 \(\mathbb{R}^m\)，則 \(\text{rank}(A) = m\)
  3. (T/F) 若列向量是 \(\mathbb{R}^m\) 的基底，則 \(n = m\) 且 \(\text{rank}(A) = n = m\)
  4. (T/F) \(A\) 的行空間等於列空間，當且僅當 \(A^T = A\)
  5. (T/F) 若 \(A^T = -A\)（反對稱矩陣），則行空間等於列空間
  6. (T/F) \(A\) 與 \(A^T\) 的秩相同

設 \(V\) 是實數上的向量空間，\(W_1, W_2\) 是 \(V\) 的子空間。 ⭐ 110年 Q1 風格

(e) 子空間性質

判斷以下敘述的真偽：

  1. (T/F) \(W_1 \cup W_2\) 是 \(V\) 的子空間
  2. (T/F) \(W_1 \cap W_2\) 是 \(V\) 的子空間
  3. (T/F) \(W_1 + W_2 = \{\mathbf{w}_1 + \mathbf{w}_2 : \mathbf{w}_1 \in W_1, \mathbf{w}_2 \in W_2\}\) 是 \(V\) 的子空間
  4. (T/F) \(\dim(W_1 + W_2) = \dim(W_1) + \dim(W_2) - \dim(W_1 \cap W_2)\)

(f) 正交補空間

設 \(S\) 是 \(\mathbb{R}^n\) 的非空子集，\(S^\perp = \{\mathbf{x} \in \mathbb{R}^n : \mathbf{x} \cdot \mathbf{s} = 0, \forall \mathbf{s} \in S\}\)。

  1. (T/F) \((S^\perp)^\perp = \text{Span}(S)\)
  2. (T/F) \(\dim(S) + \dim(S^\perp) = n\)（當 \(S\) 是子空間時）

設 \(\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_3\) 是線性獨立的向量。 ⭐ 109年 Q1 風格

(g) 線性獨立的保持

判斷以下向量組是否一定線性獨立：

  1. \(\{2\mathbf{v}_1 + \mathbf{v}_2 + 2\mathbf{v}_3, \mathbf{v}_2 + \mathbf{v}_3, \mathbf{v}_2 + 2\mathbf{v}_3\}\)
  2. \(\{\mathbf{v}_1 + \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_2 + \mathbf{v}_3, \mathbf{v}_1 + \mathbf{v}_3\}\)

（提示：將新向量用原向量表示，看係數矩陣是否可逆）