連續分布總覽

本章節涵蓋考試常見的三種連續機率分布。點擊分布名稱查看詳細內容。

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快速對照表

分布	記號	PDF	\(E[X]\)	\(\text{Var}(X)\)	用途
Exponential	\(\text{Exp}(\lambda)\)	\(\lambda e^{-\lambda x}\)	\(\frac{1}{\lambda}\)	\(\frac{1}{\lambda^2}\)	等待時間、壽命
Normal	\(N(\mu, \sigma^2)\)	\(\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}\)	\(\mu\)	\(\sigma^2\)	CLT、測量誤差
Uniform	\(U(a, b)\)	\(\frac{1}{b-a}\)	\(\frac{a+b}{2}\)	\(\frac{(b-a)^2}{12}\)	等機率選取

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分布關係圖

                    Uniform(0,1)
                         │
          ┌──────────────┼──────────────┐
          │              │              │
          ▼              ▼              ▼
   [Inverse Transform]  [順序統計量]    [線性變換]
          │              │              │
          ▼              ▼              ▼
     任意連續分布      Beta(k,n-k+1)   Uniform(a,b)


     Geometric(p) ──[連續化]──> Exponential(λ)
                                    │
                    ┌───────────────┼───────────────┐
                    │               │               │
                    ▼               ▼               ▼
              [n個獨立和]      [最小值]        [Poisson過程]
                    │               │               │
                    ▼               ▼               ▼
               Gamma(n,λ)    Exp(Σλᵢ)          事件間隔


     任意分布 ──[CLT, n→∞]──> Normal(μ, σ²/n)

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如何選擇分布？

問題類型判斷

題目問的是...	考慮使用...
等待時間、壽命、間隔	Exponential
大樣本平均值、測量誤差	Normal
區間內等機率選取	Uniform

關鍵詞識別

關鍵詞	分布
「等待」「壽命」「無記憶」「Poisson 過程」	Exponential
「常態」「鐘形」「CLT」「Z 分數」	Normal
「隨機選取」「等機率」「順序統計量」	Uniform

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重要性質速查

無記憶性

只有 Exponential 具有無記憶性（連續分布中唯一）：

\[P(X > s + t \mid X > s) = P(X > t)\]

可加性

分布	可加性
Exponential	\(\sum_{i=1}^n \text{Exp}(\lambda) = \text{Gamma}(n, \lambda)\)
Normal	\(N(\mu_1, \sigma_1^2) + N(\mu_2, \sigma_2^2) = N(\mu_1+\mu_2, \sigma_1^2+\sigma_2^2)\)

中央極限定理

無論原始分佈為何（只要有有限變異數）：

\[\frac{\bar{X}_n - \mu}{\sigma/\sqrt{n}} \xrightarrow{d} N(0, 1) \quad \text{as } n \to \infty\]

離散 ↔ 連續 對應

離散	連續	共同性質
Geometric	Exponential	無記憶性
Neg. Binomial	Gamma	\(r\) 次/個的等待
Binomial（\(n\)大）	Normal	CLT 近似

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各分布詳細頁面

• Exponential 分布

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  等待時間、壽命建模，唯一具有無記憶性的連續分布

• Normal 分布

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  中央極限定理的核心，最重要的連續分布

• Uniform 分布

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  等機率選取，隨機數生成的基礎

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其他常見連續分布（補充）

以下分布也常出現在考試中，但本筆記尚未詳細整理：

分布	記號	主要用途
Gamma	\(\text{Gamma}(\alpha, \beta)\)	\(n\) 個 Exp 的和、等待第 \(n\) 個事件
Beta	\(\text{Beta}(\alpha, \beta)\)	順序統計量、機率的機率
Chi-squared	\(\chi^2(k)\)	樣本變異數、適合度檢驗
Student's t	\(t(k)\)	小樣本均值檢驗
F	\(F(d_1, d_2)\)	變異數比較、ANOVA