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Gamma 分佈 (Gamma Distribution)

定義與性質

記號: \(X \sim \text{Gamma}(\alpha, \lambda)\) 或 \(X \sim \text{Gamma}(\alpha, \beta)\)

項目 公式/說明
PDF \(f(x) = \frac{\lambda^\alpha}{\Gamma(\alpha)} x^{\alpha-1} e^{-\lambda x}, \quad x \geq 0\)
期望值 \(E[X] = \frac{\alpha}{\lambda}\)
變異數 \(\text{Var}(X) = \frac{\alpha}{\lambda^2}\)
MGF \(M_X(t) = \left(\frac{\lambda}{\lambda - t}\right)^\alpha, \quad t < \lambda\)
與 Exp 關係 \(\text{Gamma}(1, \lambda) = \text{Exp}(\lambda)\)
可加性 \(X_1 + X_2 \sim \text{Gamma}(\alpha_1 + \alpha_2, \lambda)\)（同 \(\lambda\)）
與 \(\chi^2\) 關係 \(\chi^2_n = \text{Gamma}(n/2, 1/2)\)

故事理解：你在急診室等叫號，每位病人的看診時間平均 10 分鐘（\(\lambda = 0.1\)）。如果你前面有 3 個人（\(\alpha = 3\)），你的等待時間就是 3 個獨立指數分佈的和，服從 Gamma(3, 0.1)。期望等待時間是 30 分鐘（\(3/0.1\)），但變異數比單純 3 倍還要大！

進階思考題

某醫院急診室的看診時間服從指數分佈。令 \(T_i\) 為第 \(i\) 位病人的看診時間，\(T_i \sim \text{Exp}(\lambda)\) iid，其中 \(\lambda = 0.1\)（單位：分鐘\(^{-1}\)，即平均每人 10 分鐘）。

(a) 指數分佈的和

你前面有 \(n = 3\) 位病人，等待時間 \(W = T_1 + T_2 + T_3\)。

  1. 利用 MGF 證明 \(W \sim \text{Gamma}(3, \lambda)\)
  2. 寫出 \(W\) 的 PDF，計算 \(E[W]\) 和 \(\text{Var}(W)\)
  3. 計算 \(P(W > 40)\)（提示：\(\int_{40}^{\infty} \frac{\lambda^3}{2} x^2 e^{-\lambda x} dx\)，可用分部積分或查表）

(b) Gamma 函數

Gamma 函數定義為 \(\Gamma(\alpha) = \int_0^\infty x^{\alpha-1} e^{-x} dx\)。

  1. 證明 \(\Gamma(\alpha + 1) = \alpha \cdot \Gamma(\alpha)\)（遞迴關係）
  2. 證明 \(\Gamma(n) = (n-1)!\)（對正整數 \(n\)）
  3. 已知 \(\Gamma(1/2) = \sqrt{\pi}\)，求 \(\Gamma(3/2)\) 和 \(\Gamma(5/2)\)

© 與 Poisson 過程的關係大二

在 Poisson 過程中，令 \(S_n\) 為第 \(n\) 次事件發生的時間。

  1. 證明 \(S_n = T_1 + T_2 + \cdots + T_n \sim \text{Gamma}(n, \lambda)\)
  2. 證明 \(P(N(t) \geq n) = P(S_n \leq t)\)，其中 \(N(t)\) 是時間 \([0, t]\) 內的事件數
  3. 利用上述關係，說明 Gamma CDF 與 Poisson CDF 的對偶性

(d) 兩個指數的和（109 年台大考題）大二

考試時間為連續隨機變數，答對每題的時間獨立且服從指數分佈。第一題難度為 2（期望時間 2 分鐘），第二題難度為 3（期望時間 3 分鐘）。

  1. 令 \(T_1 \sim \text{Exp}(1/2)\)，\(T_2 \sim \text{Exp}(1/3)\)，寫出 \(T_1\) 和 \(T_2\) 的 PDF
  2. 令 \(S = T_1 + T_2\)，推導 \(S\) 的 PDF（提示：卷積 \(f_S(s) = \int_0^s f_{T_1}(t) f_{T_2}(s-t) dt\)）
  3. 計算 \(E[S]\) 和 \(\text{Var}(S)\)
  4. 這個分佈是 Gamma 分佈嗎？為什麼？

(e) 與卡方分佈的關係大二

設 \(Z_1, Z_2, \ldots, Z_n \sim N(0, 1)\) iid，定義 \(\chi^2_n = \sum_{i=1}^n Z_i^2\)。

  1. 證明 \(Z^2 \sim \text{Gamma}(1/2, 1/2)\)（提示：先求 \(Z^2\) 的 CDF，再微分）
  2. 利用 Gamma 的可加性，證明 \(\chi^2_n \sim \text{Gamma}(n/2, 1/2)\)
  3. 求 \(E[\chi^2_n]\) 和 \(\text{Var}(\chi^2_n)\)

(f) 參數估計大三

設 \(X_1, \ldots, X_n \sim \text{Gamma}(\alpha, \lambda)\) iid，其中 \(\alpha\) 已知，\(\lambda\) 未知。

  1. 寫出概似函數 \(L(\lambda)\)
  2. 求 \(\lambda\) 的 MLE \(\hat{\lambda}\)
  3. 證明 \(\hat{\lambda}\) 是無偏估計量

(g) Gamma-Poisson 共軛大三

在貝氏統計中，若先驗分佈 \(\lambda \sim \text{Gamma}(\alpha, \beta)\)，觀測到 \(X \mid \lambda \sim \text{Pois}(\lambda)\)。

  1. 寫出 \(\lambda\) 的後驗分佈（提示：後驗 \(\propto\) 先驗 \(\times\) 概似）
  2. 證明後驗分佈也是 Gamma 分佈，求其參數
  3. 說明為何 Gamma 是 Poisson 的「共軛先驗」