均勻分佈 (Uniform Distribution)¶

記號: \(X \sim U(a,b)\)

故事理解：你跟朋友約「下午2點到4點之間」碰面，但沒說確切時間。朋友可能在這2小時內的任何時刻出現，每個時間點機率都一樣。期望值是3點（正中間），但實際出現時間可能從2點到4點任何地方都有可能。

進階思考題

某城市的公車每 20 分鐘一班（固定間隔），但你不知道時刻表。你在隨機時刻到達站牌，等車時間 \(X\) 服從 \(U(0, 20)\)（單位：分鐘）。

(a) 基礎計算與機率

(b) 條件機率

你已經等了 8 分鐘，公車還沒來。

\(n = 5\) 位乘客在不同時刻隨機到達站牌，各自的等車時間 \(X_1, ..., X_5\) 獨立同分布 \(U(0, 20)\)。令 \(X_{(1)} \leq X_{(2)} \leq ... \leq X_{(5)}\) 為順序統計量。

求「等最久的人」等待時間 \(X_{(5)} = \max(X_1, ..., X_5)\) 的 CDF 和 PDF
計算 \(E[X_{(5)}]\)（提示：\(\int_0^{20} x \cdot 5 \cdot (\frac{x}{20})^4 \cdot \frac{1}{20} dx\)）
求「等最短的人」等待時間 \(X_{(1)} = \min(X_1, ..., X_5)\) 的期望值

(d) 順序統計量一般公式大二

令 \(X_1, ..., X_n\) iid \(U(0,1)\)，\(X_{(k)}\) 為第 \(k\) 小的觀測值。

推導 \(X_{(k)}\) 的 PDF：\(f_{X_{(k)}}(x) = \frac{n!}{(k-1)!(n-k)!} x^{k-1}(1-x)^{n-k}\)
證明 \(X_{(k)} \sim \text{Beta}(k, n-k+1)\)，並求 \(E[X_{(k)}] = \frac{k}{n+1}\)
若 \(n = 100\)，求中位數 \(X_{(50)}\) 的期望值和變異數

(e) 極值的極限分布大三

令 \(M_n = \min(X_1, ..., X_n)\)，\(X_i\) iid \(U(0,1)\)。定義 \(W_n = n \cdot M_n\)。

(f) 參數估計與 MLE大二

公車實際間隔時間為 \(\theta\) 分鐘（未知）。你觀察 \(n\) 位乘客的等車時間 \(X_1, ..., X_n\) iid \(U(0, \theta)\)。

寫出概似函數 \(L(\theta) = \prod_{i=1}^n f(X_i; \theta)\)，說明為何 MLE 是 \(\hat{\theta} = X_{(n)}\)
求 \(E[\hat{\theta}]\)，證明 MLE 是有偏的（低估 \(\theta\)）
構造無偏估計 \(\tilde{\theta} = c \cdot X_{(n)}\)，求 \(c\)

(g) 最小均方估計大三

設 \((X, Y)\) 的聯合 PDF 為 \(f_{X,Y}(x,y) = 2\)，定義在 \(0 \leq y \leq x \leq 1\) 的三角形區域。