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離散分布總覽

本章節涵蓋考試常見的五種離散機率分布。點擊分布名稱查看詳細內容。

快速對照表

分布 記號 PMF \(E[X]\) \(\text{Var}(X)\) 用途
Bernoulli \(\text{Ber}(p)\) \(p^x(1-p)^{1-x}\) \(p\) \(p(1-p)\) 單次成功/失敗
Binomial \(B(n,p)\) \(\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}\) \(np\) \(np(1-p)\) \(n\) 次中成功次數
Geometric \(\text{Geom}(p)\) \((1-p)^{k-1}p\) \(\frac{1}{p}\) \(\frac{1-p}{p^2}\) 第一次成功
Neg. Binomial \(NB(r,p)\) \(\binom{k-1}{r-1}p^r(1-p)^{k-r}\) \(\frac{r}{p}\) \(\frac{r(1-p)}{p^2}\) 第 \(r\) 次成功
Poisson \(\text{Pois}(\lambda)\) \(\frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}\) \(\lambda\) \(\lambda\) 單位時間/空間計數

分布關係圖

                    Bernoulli(p)
                         │
          ┌──────────────┼──────────────┐
          │              │              │
          ▼              ▼              ▼
    [n次獨立和]    [直到第1次成功]  [直到第r次成功]
          │              │              │
          ▼              ▼              ▼
     Binomial(n,p)   Geometric(p)   Neg.Binomial(r,p)
          │              │              │
          │              └──────┬───────┘
          │                     │
          ▼                     ▼
   [n→∞, p→0, np→λ]      [連續化極限]
          │                     │
          ▼                     ▼
     Poisson(λ)          Exponential(λ)

如何選擇分布？

問題類型判斷

題目問的是... 考慮使用...
單次試驗成功/失敗 Bernoulli
固定 \(n\) 次中成功幾次 Binomial
第一次成功要幾次 Geometric
第 \(r\) 次成功要幾次 Negative Binomial
單位時間/空間內數量 Poisson

關鍵詞識別

關鍵詞 分布
「一次」「單次」「是否」 Bernoulli
「\(n\) 次中」「成功次數」 Binomial
「直到第一次」「首次成功」 Geometric
「直到第 \(r\) 次」「累積 \(r\) 次」 Negative Binomial
「每小時」「每平方公尺」「平均率」 Poisson

重要性質速查

無記憶性

只有 Geometric 具有無記憶性（離散分布中唯一）：

\[P(X > m + n \mid X > m) = P(X > n)\]

可加性

分布 可加性
Binomial \(B(n_1, p) + B(n_2, p) = B(n_1+n_2, p)\)
Neg. Binomial \(NB(r_1, p) + NB(r_2, p) = NB(r_1+r_2, p)\)
Poisson \(\text{Pois}(\lambda_1) + \text{Pois}(\lambda_2) = \text{Pois}(\lambda_1+\lambda_2)\)

近似關係

條件 近似
\(n\) 大, \(p\) 小, \(np \approx \lambda\) \(B(n,p) \approx \text{Pois}(\lambda)\)
\(n\) 大, \(np \geq 5\), \(n(1-p) \geq 5\) \(B(n,p) \approx N(np, np(1-p))\)

各分布詳細頁面