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二項分佈 (Binomial Distribution)

記號: \(X \sim B(n,p)\)

項目 公式/說明
PMF \(P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}, \quad k = 0, 1, \ldots, n\)
期望值 \(E[X] = np\)
變異數 \(\text{Var}(X) = np(1-p)\)
MGF \(M_X(t) = (1 - p + pe^t)^n\)
用途 \(n\) 次獨立試驗中的成功次數

故事理解：投同一枚硬幣10次（\(n=10\)），每次正面機率都是 \(p=0.6\)。10次裡總共出現幾次正面？可能是0次、1次...最多10次。期望值是6次（\(10 \times 0.6\)），但實際結果會在這附近波動。

進階思考題

你有兩枚外觀相同的硬幣。硬幣 A 正面機率為 \(1/4\)，硬幣 B 正面機率為 \(3/4\)。隨機選一枚硬幣（各 \(1/2\) 機率），然後連續投擲 \(n\) 次。令 \(X\) 為正面出現的次數。

(a) Bayesian 後驗機率 ⭐ 110年考題風格

  1. 給定選到硬幣 A，寫出 \(X\) 的條件 PMF
  2. 若觀察到 \(X = k\) 次正面，計算選到硬幣 A 的後驗機率 \(P(A \mid X = k)\)
  3. 數值計算：設 \(n = 5\)，觀察到 \(X = 1\)。計算 \(P(A \mid X = 1)\)

(b) 邊際分布與全機率

  1. 利用全機率公式，推導 \(X\) 的邊際 PMF：\(P(X = k)\)
  2. 證明 \(E[X] = n/2\)（提示：\(E[X] = E[X|A]P(A) + E[X|B]P(B)\)）
  3. 計算 \(\text{Var}(X)\)（提示：需用 \(E[X^2] = E[E[X^2|C]]\) 其中 \(C\) 為選到的硬幣）

品管部門檢驗一批 \(n\) 個產品，每個產品獨立地有機率 \(p\) 為良品。令 \(X\) 為良品數，則 \(X \sim B(n, p)\)。

© MGF 與動差推導 ⭐ 113年考題風格

利用動差生成函數 \(M_X(t) = (1 - p + pe^t)^n\)：

  1. 對 \(M_X(t)\) 微分，證明 \(E[X] = np\)
  2. 對 \(M_X(t)\) 二次微分，求 \(E[X^2]\)，並推導 \(\text{Var}(X) = np(1-p)\)
  3. 若 \(n = 100\)，\(p = 0.9\)，計算 \(E[X]\) 與 \(\text{SD}(X)\) 的數值

(d) Chebyshev 不等式 ⭐ 113年考題風格

令 \(\bar{X} = X/n\) 為樣本良率。

  1. 寫出 \(E[\bar{X}]\) 與 \(\text{Var}(\bar{X})\)
  2. 利用 Chebyshev 不等式，證明：\(P(|\bar{X} - p| \geq \epsilon) \leq \frac{p(1-p)}{n\epsilon^2}\)
  3. 數值計算：設 \(p = 0.9\)，\(\epsilon = 0.05\)，\(n = 100\)。計算 \(P(|\bar{X} - 0.9| \geq 0.05)\) 的上界

(e) 常態近似與連續性修正

承上題（\(n = 100\)，\(p = 0.9\)）：

  1. 利用常態近似，計算 \(P(X \geq 95)\)（提示：\(\Phi(1.67) \approx 0.9525\)）
  2. 加入連續性修正後，計算 \(P(X \geq 95)\)（即計算 \(P(X \geq 94.5)\)）
  3. 比較兩種近似的差異

Alice 和 Bob 進行一場比賽，規則如下：每局 Alice 有 \(p = 0.6\) 機率獲勝，雙方各得 1 分；有 \(0.4\) 機率 Bob 獲勝，雙方各得 0 分。比賽進行 \(n = 25\) 局，令 \(X\) 為 Alice 的總得分。 ⭐ 113年 Q3 風格

(f) MGF 推導

  1. 寫出單局得分 \(Y_i\) 的 PMF（\(Y_i = 1\) 或 \(0\)）
  2. 推導 \(X = \sum_{i=1}^{n} Y_i\) 的 MGF：\(M_X(s)\)
  3. 由 MGF 計算 \(E[X]\) 和 \(\text{Var}(X)\)

(g) 機率上界

  1. 利用 Chebyshev 不等式，估計 \(P(X \geq 20)\) 的上界
  2. 利用常態近似，計算 \(P(X \geq 20)\)（提示：\(\Phi(2.04) \approx 0.9793\)）
  3. 比較兩種方法的結果

森林火災監測系統在面積 \(A\) 的區域內隨機投放感測器，感測器數量 \(N\) 服從 Poisson\((\rho A)\) 分布。每個感測器獨立地有機率 \(q\) 故障（無法使用），有機率 \(1-q\) 正常運作。 ⭐ 109年 Q12 風格

(h) 條件分布與邊際分布

令 \(M\) 為正常運作的感測器數量。

  1. 給定 \(N = n\)，寫出 \(M\) 的條件 PMF
  2. 推導 \(M\) 的邊際 PMF（提示：對 \(N\) 求和，利用 Poisson PMF）
  3. 證明 \(M \sim \text{Poisson}(\rho A (1-q))\)

(i) 火災偵測機率

假設火災發生在區域內某點，若該點在任一正常感測器的偵測半徑 \(R\) 內，則火災被偵測到。設偵測範圍面積為 \(\pi R^2\)，且 \(\pi R^2 \ll A\)。

  1. 給定有 \(M = m\) 個正常感測器，火災被偵測到的機率約為多少？（提示：每個感測器獨立偵測）
  2. 若要求火災被偵測的機率至少為 \(0.95\)，\(\rho A(1-q)\) 至少要多大？