卜瓦松分佈 (Poisson Distribution)¶

記號: \(X \sim \text{Pois}(\lambda)\)

項目	公式/說明
PMF	\(P(X = k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}, \quad k = 0, 1, 2, \ldots\)
期望值	\(E[X] = \lambda\)
變異數	\(\text{Var}(X) = \lambda\)
MGF	\(M_X(t) = e^{\lambda(e^t - 1)}\)
獨立和	\(X_1 + X_2 \sim \text{Pois}(\lambda_1 + \lambda_2)\)
用途	單位時間內事件數、單位空間內數量

故事理解：你經營一家便利商店，過去統計顯示每小時平均有3個客人進來（\(\lambda = 3\)）。今天某個小時可能來0個、1個、2個...都有可能，但最可能的是2-4個客人。如果同時統計早上和下午，總客人數的分佈仍是卜瓦松，\(\lambda\) 會相加！

進階思考題

某電商平台的客服中心，根據歷史數據，每小時平均接到 \(\lambda = 5\) 通客訴電話，來電服從卜瓦松分佈。

(a) 基礎計算與 PMF

寫出 \(P(X = k)\) 的公式，計算 \(P(X = 0)\)、\(P(X = 5)\)、\(P(X = 10)\)（提示：\(e^{-5} \approx 0.0067\)）
驗證 \(E[X] = \text{Var}(X) = \lambda = 5\)
利用 \(P(X \leq k) = \sum_{i=0}^{k} \frac{\lambda^i e^{-\lambda}}{i!}\)，計算 \(P(X \leq 3)\)（某小時來電不超過 3 通的機率）

(b) 可加性與人力規劃

客服中心早班（4 小時）和晚班（4 小時）的來電數分別為 \(X_1 \sim \text{Pois}(20)\) 和 \(X_2 \sim \text{Pois}(20)\)。

證明全天來電數 \(X_1 + X_2 \sim \text{Pois}(40)\)
若每位客服每小時能處理 8 通電話，早班需要幾位客服才能以 95% 機率處理完所有來電？（提示：使用常態近似，\(\Phi(1.645) \approx 0.95\)）
若早班只有 2 位客服，求「來電數超過處理能力」的機率

平台有 \(n = 10000\) 位活躍用戶，每位用戶每小時有 \(p = 0.0005\) 的機率撥打客訴電話。

說明為何可用 \(\text{Pois}(\lambda)\) 近似 \(B(n, p)\)，其中 \(\lambda = np\)
計算「某小時恰好有 5 通來電」的機率，分別用二項分佈和 Poisson 近似，比較結果
證明 Poisson 極限定理：當 \(n \to \infty\)，\(p \to 0\)，\(np \to \lambda\) 時，\(\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k} \to \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}\)

(d) 條件分佈與來電分類大二

來電分為「退貨問題」和「其他問題」。設退貨來電 \(X \sim \text{Pois}(3)\)，其他來電 \(Y \sim \text{Pois}(2)\)，兩者獨立。

證明總來電 \(X + Y \sim \text{Pois}(5)\)
給定「某小時總共 10 通來電」，求「其中恰好 6 通是退貨問題」的機率
證明 \(X \mid (X+Y=n) \sim B(n, \frac{\lambda_1}{\lambda_1+\lambda_2})\)，其中 \(\lambda_1 = 3\)，\(\lambda_2 = 2\)

(e) 複合 Poisson 過程大三

令 \(N \sim \text{Pois}(\lambda)\) 為來電數，每通電話的處理時間 \(Y_i\) 獨立同分布。定義總處理時間 \(S = \sum_{i=1}^N Y_i\)。

推導 \(S\) 的 MGF：\(M_S(t) = \exp(\lambda(M_Y(t) - 1))\)（提示：\(E[e^{tS}] = E[E[e^{tS} \mid N]]\)）
若 \(Y_i \sim \text{Ber}(p)\)（每通電話有 \(p\) 機率需要轉接），證明轉接次數 \(S \sim \text{Pois}(\lambda p)\)
這個結果與 Poisson 稀疏（thinning）有何關係？

(f) Poisson 稀疏與品檢大三

某工廠在時間 \([0, t]\) 內生產的產品數 \(N(t) \sim \text{Pois}(\mu t)\)。每個產品獨立地有機率 \(p\) 為良品。