核心公式
期望值與變異數公式
| 公式 |
條件 |
| \(E[aX + b] = aE[X] + b\) |
- |
| \(\text{Var}(aX + b) = a^2 \text{Var}(X)\) |
- |
| \(\text{Var}(X) = E[X^2] - (E[X])^2\) |
- |
| \(E[XY] = E[X]E[Y]\) |
\(X, Y\) 獨立 |
| \(\text{Var}(X + Y) = \text{Var}(X) + \text{Var}(Y)\) |
\(X, Y\) 獨立 |
聯合分佈公式
| 概念 |
公式 |
| 邊際分佈 |
\(f_X(x) = \int f_{X,Y}(x,y) dy\) |
| 條件分佈 |
\(f_{X\|Y}(x\|y) = \frac{f_{X,Y}(x,y)}{f_Y(y)}\) |
| 獨立條件 |
\(f_{X,Y}(x,y) = f_X(x) \cdot f_Y(y)\) |
| 共變異數 |
\(\text{Cov}(X,Y) = E[XY] - E[X]E[Y]\) |
| 相關係數 |
\(\rho_{XY} = \frac{\text{Cov}(X,Y)}{\sigma_X \sigma_Y}\) |
MGF (動差生成函數) 使用指南
基本定義與性質
| 類型 |
公式 |
說明 |
| MGF 定義 |
\(M_X(t) = E[e^{tX}]\) |
動差生成函數 |
| 求期望值 |
\(E[X] = M_X'(0)\) |
一階導數在0處 |
| 求 \(E[X^2]\) |
\(E[X^2] = M_X''(0)\) |
二階導數在0處 |
| 一般公式 |
\(E[X^n] = M_X^{(n)}(0)\) |
第 \(n\) 階導數在0處 |
| 獨立和 |
\(M_{X+Y}(t) = M_X(t) M_Y(t)\) |
\(X, Y\) 獨立 |
| 線性變換 |
\(M_{aX+b}(t) = e^{bt} M_X(at)\) |
- |
使用技巧
何時用 MGF？
1. 需要求高階動差（期望值、變異數等）時
2. 證明兩個分佈相同時（MGF 唯一決定分佈）
3. 求獨立隨機變數和的分佈時（MGF 相乘）
例子：若 \(X \sim N(0,1)\)，\(Y \sim N(0,1)\) 獨立，求 \(X+Y\) 的分佈
- \(M_X(t) = e^{t^2/2}\)
- \(M_Y(t) = e^{t^2/2}\)
- \(M_{X+Y}(t) = M_X(t) \cdot M_Y(t) = e^{t^2/2} \cdot e^{t^2/2} = e^{t^2}\)
- 因此 \(X+Y \sim N(0,2)\)
重要不等式
| 不等式 |
公式 |
條件 |
用途 |
| Markov |
\(P(X \geq a) \leq \frac{E[X]}{a}\) |
\(X \geq 0, a > 0\) |
估計機率上界 |
| Chebyshev |
\(P(\|X - \mu\| \geq k\sigma) \leq \frac{1}{k^2}\) |
任意分佈 |
不知道分佈時估計 |